Question

qual deve ser o valor dê m para que a equação x^2 +y^2 - 10x + 2y + 3m = 0 seja a equação dê uma circunferencia

Answer 1

A circunferência tem equação:

(x-xc)²+(y-yc)² = r²

onde:

xc = abcissa do centro
yc = ordenada do centro
r = raio

desenvolvendo:

(x-xc)²+(y-yc)² = r²
x²-2.x.xc+xc²+y²-2.y.yc+yc²=r²
x²-2.x.xc+y²-2.y.yc=r²-xc²-yc²

Comparando com a equação dada:

x² + y² -10x + 2y = -3m
x²-2.x.xc+y²-2.y.yc=r²-xc²-yc²

-2.x.xc = -10x
2.xc = 10
xc = 5

-2.y.yc = 2y
-2.yc = 2
yc = -1

Finalmente:

r²-xc²-yc² = -3m
r²- 5² - (-1)² = -3m
r² - 25 - 1 = -3m
r² - 26 = -3m
r² = -3m + 26
r = √(-3m+26)

O número dentro da raiz deve ser positivo e diferente de zero, pois não existe circunferência com raio 0:

-3m + 26 > 0
-3m > -26
3m < 26
m < 26/3