qual deve ser o tempo para que a quantia de r$ 30000 gere montante de 32781,81 quando aplicado a taxa de 3% ao mês no sistema de juros composto
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Quinho, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se o tempo para que um capital de R$ 30.000,00 gere montante de R$ 32.781,81, quando aplicado à taxa de 3% ao mês, no regime de juros compostos.
Note que a fórmula para montante, em juros compostos, é dada assim:
M = C*(1+i)ⁿ , em que "M" é o montante, "C" é o capital, "i" é a taxa de juros e "n" é o tempo.
Note que já dispomos dos seguintes dados para substituir na fórmula do montante acima:
M = 32.781,81
C = 30.000
i = 0,03 ao mês ---- (note que 3% = 3/100 = 0,03).
n = n ----- (é o que vamos encontrar).
Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula do montante, teremos:
32.781,81 = 30.000*(1+0,03)ⁿ ----- desenvolvendo, temos:
32.781,81 = 30.000*(1,03)ⁿ ---- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo:
30.000*(1,03)ⁿ = 32.781,81 ---- isolando (1,03)ⁿ teremos:
(1,03)ⁿ = 32.781,81 / 30.000 ---- note que esta divisão dá "1,092727". Logo:
(1,03)ⁿ = 1,092727 ---- agora vamos aplicar logaritmo (na base 10) a ambos os membros, ficando assim:
log (1,03)ⁿ = log (1,092727) ---- passando o expoente "n" multiplicando, teremos:
n*log(1,03) = log (1,092727)
Agora note que:
log (1,03), na base 10 = 0,012837 (bem aproximado)
log (1,09727), na base 10 = 0,038512 (bem aproximado)
Assim, fazendo as devidas substituições na nossa expressão, teremos:
n*0,012837 = 0,038512 ----- isolando "n", teremos:
n = 0,038512 / 0,012837 ---- note que esta divisão dá "3" (super bem aproximado). Assim, teremos que:
n = 3 meses <--- Esta é a resposta. Ou seja, o capital de R$ 30.000,00 deverá ficar aplicado durante 3 meses, a uma taxa de 3% ao mês, para que se tenha um montante de R$ 32.781,81.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Resposta:
3 meses
Explicação passo a passo:
utilizando a formula C + i . C vamos achar o resultado.
O meu capital inicial é: 30000
A minha taxa: 3/100= 0,03
Na formula vai ficar:
30000 + 0,03 x 30000 = 30900 ( 1 mês )
30900 + 0,03 x 30900 = 31827 ( 2 mês )
31827 + 0,03 x 31827 = 32781,81 (3 mês )
Três meses para gerar o M de 32781,81