Question

Qual deve ser a médida em graus, do ângulo de um setor circular de raio 10cm que representa a área lateral de um cone cuja área total é 171pi cm?
a) 96 graus
b) 128 graus
c) 224 graus
d) 324 graus

Answer 1

A medida, em graus, do ângulo do setor circular é 324º.

Primeiramente, é importante sabermos que a área total de um cone é dada pela fórmula:

• At = πr(r + g), sendo r o raio da base e g a geratriz.

De acordo com o enunciado, o raio do setor mede 10 centímetros. Então, g = 10.

Como a área total é igual a 171π, então:

171π = πr(r + 10)

171 = r² + 10r

r² + 10r - 171 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Utilizando a fórmula de Bhaskara, obtemos:

Δ = 10² - 4.1.(-171)

Δ = 100 + 684

Δ = 784

$r=\frac{-10+-\sqrt{784}}{2}$

$r=\frac{-10+-28}{2}$

$r'=\frac{-10+28}{2}=9$

$r''=\frac{-10-28}{2}=-19$.

Como r não pode ser negativo, então r = 9 cm.

O comprimento de uma circunferência é dado pela fórmula:

• C = 2πr.

Então, o comprimento da base do cone é:

C = 2π.9

C = 18π cm.

O comprimento de um setor circular pode ser calculado pela fórmula:

• $l=\frac{\pi r \alpha}{180}$.

Portanto, podemos concluir que:

18π = π.10.α/180

18 = 10α/180

10α = 3240

α = 324º.