Question

Qual destas alternativas é equivalente à sin(X)/(1-cos(X)) ?
a)ctg(X) (1-cos(X))
b)ctg(X)-sec(X)
c)csc(X)+ctg(X)
d)sec(x)-ctg(x)
e)tg(x)(1-cos(x))

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre funções trigonométricas.

Seja a expressão: $\dfrac{\sin(x)}{1-\cos(x)}$

Aqui, temos a restrição $x\neq0+2k\pi,~k\in\mathbb{Z}$.

Devemos encontrar qual das opções é equivalente a expressão.

Multiplique a expressão por $\dfrac{1+\cos(x)}{1+\cos(x)}$

$\dfrac{\sin(x)}{1-\cos(x)}\cdot\dfrac{1+\cos(x)}{1+\cos(x)}\\\\\\ \dfrac{\sin(x)\cdot(1+\cos(x))}{(1-\cos(x))\cdot(1+\cos(x))}$

Efetue a propriedade do produto da soma pela diferença: $\boxed{(a-b)\cdot(a+b)=a^2-b^2}$

$\dfrac{\sin(x)\cdot(1+\cos(x))}{1-\cos^2(x)}$

Lembre-se da identidade trigonométrica: $\boxed{\sin^2(x)+\cos^2(x)=1}$. Assim, fazemos $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$.

$\dfrac{\sin(x)\cdot(1+\cos(x))}{\sin^2(x)}$

Simplificamos a fração, respeitando a restrição dita anteriormente

$\dfrac{1+\cos(x)}{\sin(x)}$

Separe a fração como uma soma de frações

$\dfrac{1}{\sin(x)}+\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}$

Lembre-se das funções trigonométricas: $\csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}$ e $\cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}$. Logo, teremos:

$\csc(x)+\cot(x)$

Esta é a expressão equivalente e é a resposta contida na letra c).