Question

Qual das alternativas a seguir, indica o valor da integral de linha ʃc F.dr do campo vetorial F(x,y,z) = 2xy i + x² j + 3z k, ao longo da curva r(t) = t i + t² j + t4 k, com 0 ≤ t ≤ 1

Answer 1

Resposta:

Olá Tiburcio1, neste exercício, usaremos um teorema importante no curso de Cálculo de Campos Vetoriais. Vamos lá!

Explicação passo-a-passo:

Do enunciado, temos:

$F(x,y,z)=2xy\vec{i}+x^2\vec{j}+3z\vec{k}\\r(t)=t\vec{i}+t^2\vec{j}+t^4\vec{k}\\0 \leq t \leq 1$

Para o cálculo desta integral de linha, usaremos o teorema da figura. Para tanto, precisamos de F(r(t)). Observe que para o seu cálculo, é necessário transformar o vetor r(t) e o campo F num ponto genérico do espaço tridimensional, já que $F(r(t))=F(t\vec{i}+t^2\vec{j}+t^4\vec{k})=F(t,t^2,t^4)=2t.t^2\vec{i}+t^2\vec{j}+3t^4\vec{k}=(2t^3,t^2,3t^4)$

Além disso, precisamos da derivada de r(t): r'(t). Temos:

$r(t)=(t,t^2,t^4) \Rightarrow r'(t)=((t)',(t^2)',(t^4)')=(1,2t,4t^3)$

Obs: Para calcular tal derivada, utilizei a propriedade das derivadas de funções potência para uma variável, juntamente com o teorema da derivada de uma função de $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$.

Agora, vamos calcular a integral:

$\int\limits^0_1 {F(r(t)).r'(t)} \, dt=\int\limits^0_1 {[(2t^3,t^2,3t^4).(1,2t,4t^3)]} \, dt=\int\limits^0_1 {(2t^3.1+t^2.2t+3t^4.4t^3)} \, dt$

Assim:

$\int\limits^0_1 {F(r(t)).r'(t)} \, dt=\int\limits^0_1 {(2t^3+2t^3+12.t^7)} \, dt= \int\limits^0_1 {4t^3+12t^7} \, dt$

Logo:

$\int\limits^0_1 {F(r(t)).r'(t)} \, dt=[t^4+\frac{12t^8}{8}]^1_0= (1^4+\frac{12}{8})-(0^4+\frac{12.0^8}{8})=1+\frac{12}{8}-(0+0)=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}$

Espero ter ajudado e esclarecido suas dúvidas!