Question

Qual as raízes da inequação -x+1 / x > x ?

Answer 1

Oi Palmyro!

Vamos transformá-la numa inequação do 2º grau completa:
$\frac{-x+1}{x}>x \\ \\ -x+1>x*x \\ \\ -x+1>x^2 \\ \\ -x^2-x+1>0$

Encontrando sua discriminante:
$\Delta = 1-4(-1)(1) \\ \Delta = 1+4 \\ \\ \Delta = 5$

Por fim, suas raízes:
$x' = \frac{1+ \sqrt{5} }{-2} \\ \\ x'' = \frac{1- \sqrt{5} }{-2}$

Traçando o gráfico dessa parábola e estudando o sinal dela, notamos que ele se divide em duas partes: uma positiva (parte em azul), acima do eixo horizontal, e outra negativa (parte em verde), abaixo do eixo horizontal. Como impomos inicialmente que a inequação deve ser maior que zero (-x²-x+1 > 0), o que nos interessa é a parte positiva, em azul. Entretanto, note que na equação original a incógnita x aparece no denominador de uma fração. Isso implica que uma condição de existência para essa equação é que x seja diferente de zero. Com isso em mente, temos a solução:

$\{x\:\in\:R\:\:|\:\: \frac{1+ \sqrt{5} }{-2} < x < \frac{1- \sqrt{5} }{-2},\:e\:\:x \neq 0 \}$

Bons estudos!