Question

qual área total e o volume de areia necessário para encher completamente um dos cones de uma ampulheta cujo diâmetro é 8 cm e a altura é 20 cm.

Answer 1

A área total (At) do cone é obtida pela soma da área lateral (Al) com a área da base (Ab):

At = Al + Ab

A área lateral é igual à área do setor circular de raio igual à geratriz (g) do cone e comprimento igual a 2πr:
Al = πrg
A área da base é igual à área do círculo de raio igual à metade do diâmetro (r = 4 cm):
Ab = πr²

Então,

At = πrg + πr²

At = πr (g + r) [1]

A geratriz do cone (g) é a hipotenusa de um triângulo retângulo onde os catetos são o raio (r = 4 cm) e a altura (h = 20 cm). Então, aplicando-se o Teorema de Pitágoras, temos:

g² = 4² + 20²
g² = 16 + 400
g = √416

g = 20,396, geratriz do cone

Substituindo os valores em [1]:

At = 3,14 × 4 (20,396 + 4)
At = 3,14 × 97,584

At = 306,41 cm² (área total do cone)

O volume (V) do cone é igual ao produto da área da base (Ab) pela altura (h), dividido por 3:

V = Ab × h ÷ 3

V = 3,14 × 4² × 20 ÷ 3

V = 334,93 cm³, volume do cone