Question

Qual alternativa abaixo se refere a equação geral do plano determinado pelos pontos A(2,1,0), B(3,3,2) e C(1,2,4)?

Answer 1

Vou fazer a equação direto, pelo seguinte modo:

Dado um ponto P qualquer, e tomando A como uma origem de vetores, devemos ter que os vetores $\vec{AB}, \ \vec{AC}, \ \vec{AP}$ sejam linearmente dependentes, logo, podemos fazer um determinante com as coordenadas te cada um desses vetores e ao resolvermos igualando a zero teremos a equação do plano.

$\vec{AB} = (1,2,2)$
$\vec{AC} = (-1,1,4)$
$\vec{AP} = (x-2, y-1, z)$

$\left|\begin{array}{ccc}x-2&y-1&z\\1&2&2\\-1&1&4\end{array}\right| = 0$

$(x-2)(8-2) + (1-y)(4+2 ) + z(1+2)=0\\ \\ 6x - 12 +6-6y + 3 z = 0\\ 6x-6y+3z-6=0\\ \\ \boxed{2x-2y+z-2=0}$