Question

Qual a velocidade nessesaria para que um objeto de massa 1,5kg entre em orbita em torno da terra?

Answer 1

Olá!

Pelo princípio da conservação de energia mecânica:
$E_{c_i}+E_{{pg}_i}=E_{c_f}+E_{{pg}_f}\\\\\dfrac{mv_i^2}{2}-\dfrac{GmM}{d_i}=\dfrac{mv_f^2}{2}-\dfrac{GmM}{d_f}\\\\v_i^2=v_f^2+2GM\!\left(\dfrac{1}{d_i}-\dfrac{1}{d_f}\right)$

A velocidade final vf corresponde à velocidade em órbita, que pode ser calculada sabendo-se que, em órbita, a força centrípeta é exclusivamente força gravitacional.
$F_{cp}=F_{G}\\\\\dfrac{mv_f^2}{d_f}=\dfrac{GmM}{d_f^2}\\\\v_f^2=\dfrac{GM}{d_f}$

Substituindo:
$v_i^2=v_f^2+2GM\!\left(\dfrac{1}{d_i}-\dfrac{1}{d_f}\right)\\\\v_i^2=\dfrac{GM}{d_f}+2GM\!\left(\dfrac{1}{d_i}-\dfrac{1}{d_f}\right)\\\\v_i^2=GM\!\left(\dfrac{1}{d_f}+\dfrac{2}{d_i}-\dfrac{2}{d_f}\right)\\\\\boxed{\boxed{v_i=\sqrt{GM\!\left(\dfrac{2}{d_i}-\dfrac{1}{d_f}\right)}}}$

Observe que a velocidade para pôr um corpo em órbita independe de sua massa. Tal velocidade varia em função da massa M do corpo responsável pelo campo gravitacional e das distâncias inicial e final ao centro de massa do corpo responsável pelo campo gravitacional.