Question

Qual a $\int\ (tan 2x + cotan 2x)^{2} \, dx$

Answer 1

Resposta:

$-cot(4x)+c$

Explicação passo-a-passo:

$a=tan(2x)+cot(2x)$

A tangente e a cotangente podem ser escritas da forma:

$tan(2x)=\frac{sin(2x)}{cos(2x)}\\cot(2x)=\frac{cos(2x)}{sin(2x)}$

Assim tem-se a seguinte substituição:

$a=\frac{sin(2x)}{cos(2x)}+\frac{cos(2x)}{sin(2x)}=\frac{sin^{2}(2x)+cos^{2}(2x)}{cos(2x)sin(2x)}=\frac{1}{cos(2x)sin(2x)}$

Com relações trigonométricas, sabe-se que:

$sin(2x)=2sin(x)cos(x)$

Logo:

$a=\frac{1}{cos(2x)sin(2x)}=\frac{2}{sin(4x)}$

Lembre-se que na integral temos $a^{2}$, portanto:

$(\frac{2}{sin(4x)})^2=\frac{4}{sin^2(4x)}=4csc^2(4x)$

Substituindo na integral:

$4\int{csc^2(4x)} \, dx$

Agora ficou bem mais fácil de fazer. Usando substituição e uma tabela de integrais:

$u=4x\\du=4dx\\dx=\frac{du}{4} \\4\int{csc^2(4x)} \, dx =4\int{csc^2(u)} \,\frac{du}{4}=-cot(u)=-cot(4x)+c$