Question

Qual a tangente de 22,5°?

Answer 1

tg ( 22,5º + 22,5º) = tg 22,5 + tg 22,5/ 1 - tg 22,5.tg 22,5
tg(45) = 2tg 22,5 / 1 - tg² 22,5
1 = 2tg 22,5 / 1 - tg² 22,5
1 - tg² 22,5 = 2. tg 22,5 fazendo tg 22,5 = x
1 - x² = 2x
-x² - 2x + 1 = 0 (-1)
x² + 2x - 1 = 0 resolvendo a equaçào do 2 grau, temos:
x = -1 - raiz 2 
x = -1 + raiz 2 , como 22,5 pertence ao primeiro quadrante onde as tangentes são positivas:
Resp: tg 22,5º = -1 + raiz 2

Answer 2

A tangente de 22,5° é igual a 0,41.

Relações trigonométricas

O período de uma função tangente é uma dado pela angulação do círculo trigonométrico, que varia de 0 a 360º. A função tangente possuí é período fundamental igual a π (180°).

Para duas medidas de ângulos a e b, temos as seguintes relações:

Tangente da soma:

$tg(a+b)=\dfrac{tg~a+tg~b}{1-tg~a.tg~b}$

Podemos, sabemos que tg 45° é igual a 1 e que 22,5°+22,5° é igual a 45°, logo temos:

$tg(22,5\°+22,5\°)=\dfrac{tg~22,5\°+tg~22,5\°}{1-tg~22,5\°.tg~22,5\°}\\\\\\tg(45\°)=\dfrac{2tg~22,5\°}{1-tg^2~22,5\°}\\\\\\1=\dfrac{2tg~22,5\°}{1-tg^2~22,5\°}\\\\\\1-tg^2~22,5\°=2tg~22,5\°$

Realizando uma troca de variável, iremos chamar tg 22,5° de x, logo:44

$1-x^2=2x \Rightarrow -x^2-2x+1=0$

Agora, iremos determinar as raízes da equação por meio da fórmula de Bhaskara:

$x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4.(-1).1} }{2.(-1)}=\dfrac{2\pm\sqrt{4+4}}{-2}\\\\\\ x=-\dfrac{2\pm\sqrt{8}}{2}=-\dfrac{2\pm 2,82}{2}\\\\\\ x'=-\dfrac{2+2,82}{2}=0,41\\\\\\ x'=-\dfrac{2+2,82}{2}=-2,41$

Devemos considerar apenas a raiz positiva, assim, como tg 22,5° é igual a x (troca de variáveis) temos que a tg 22,5° = 0,41.

Continue estudando mais sobre as funções trigonométricas em:

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