Question

Qual a soma dos valores de x que satisfazem R(x) = 0, sendo R(x) o resto da divisão de P(x) = x^²⁶ - x^²⁵ - 6x^²⁴ + 5x⁴ - 16x³ + 3x² por D(x) = x³- 3x² - x + 3?

Answer 1

Resposta:

A soma dos valores de x tais que R(x) = 0 é 17/6.

Explicação passo a passo:

Nesta questão vamos utilizar o Teorema do Resto, Teorema de D'Alembert, Algoritmo de Briot-Ruffini e o Algoritmo de Euclides.

• Teorema do Resto: Na divisão por um binômio do tipo (x-a) o resto da divisão é dado por P(a).

• Teorema de D'Alembert: Se P(a) for igual a zero, então P(x) é divisível por x-a ou podemos dizer também que "a" é raiz de P(x)=0.

Podemos perceber que 1 é raiz de D(x), pois a soma dos coeficientes de D(x) é igual a 0.

Aplicando Briot-Ruffini

    1     -3     -1     3

1    1     -2    -3     0

x² - 2x - 3 = 0

Cujas raízes são -1 e 3

Assim, podemos colocar D(x) na forma fatorada.

D(x) = x³ - 3x² - x + 3

D(x) = (x+1)(x-1)(x-3)

Em P(x) podemos colocar o termo x² em evidência.

P(x) = x².(x²⁴ - x²³ - 6x²² + 5x² - 16x + 3)

Sabemos também, do estudo de polinômios, que o grau do resto deve ser menor que o grau do divisor e devemos supor sempre o máximo possível.

Como o grau do divisor é 3, temos que o grau do resto deve ser 2. Assim, o resto é da forma R(x) = ax² + bx + c

Com base nessas informações vamos aplicar o Algoritmo de Euclides

D = d . q + r

D - Dividendo

d - Divisor

q - Quociente

r - Resto

P(x) = D(x) . q(x) + R(x)

x².(x²⁴ - x²³ - 6x²² + 5x² - 16x + 3) = (x+1)(x-1)(x-3) . q(x) + ax² + bx + c

Para x = 1 temos:

a + b + c = -14     (I)

Para x = -1

a - b + c = 20     (II)

Para x = 3

9a + 3b + c = 0     (III)

Resolvendo o sistema com as equações (I), (II) e (III) temos:

a = 6; b = -17 e c = -3

Dessa forma:

R(x) = 6x² - 17x - 3

Cuja soma dos valores de x vale 17/6.