qual a soma dos quadrados dos vinte primeiros números inteiros positivos?
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Augusto, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para determinar a soma dos QUADRADOS dos 20 primeiros números inteiros positivos.
ii) Note que há uma fórmula específica para encontrar a soma dos quadrados dos "n" primeiros números inteiros positivos, que é dada assim:
S ̪ = [(n+1) * n * (2n+1)] / 6 . (I).
Na fórmula (I) acima "n" é o número de termos. Como queremos a soma dos QUADRADOS dos 20 primeiros números inteiros, então o trabalho será apenas o de substituir "n" por "20". Fazendo isso, teremos:
S₂₀ = [(20+1) * 20 * (2*20+1)] / 6 ------- desenvolvendo, temos:
S₂₀ = [(21) * 20 * (40+1)] / 6 ---- continuando o desenvolvimento, temos:
S₂₀ = [(21) * 20 * (41)] / 6 ---- retirando-se os parênteses, temos:
S₂₀ = [21 * 20 * 41] / 6 ---- efetuando o produto indicado no numerador, temos:
S₂₀ = 17.220 / 6 ----- note que esta divisão dá exatamente "2.870". Logo:
S₂₀ = 2.870 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a soma dos QUADRADOS dos 20 primeiros números inteiros positivos. Em outras palavras, esta é a soma da seguinte sequência: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² + 10² + 11² + 12² + 13² + 14² + 15² + 16² + 17² + 18² + 19² + 20².
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Resposta:
Fazendo ==>n=n ==>(n+1)³=n³+3*n²+3n+1
n=0 ==>(1+0)³=0³+3*0²+3*0+1
n=1 ==>(1+1)³=1³+3*1² +3*1+1
n=2 ==>(2+1)³=2³+3*2²+3*2+1
n=3 ==>(3+1)³=3³+3*3²+3*3+1
.
.
.
.
n=19 ==>(19+1)³=19³+3*19²+3*19+1
n=20 ==>(20+1)³=20³+3*20²+3*20+1
Somando , membro a membro:
1³+2³+3³+...+20³+21³ =1³+2³+3³+...+20³ +3*(1²+2²+3²+...+20²)
+3*(1+2+3+....+20) +21
Obs. número 1 aparece 21 vezes
Simplificando 1³+2³+3³+...+20³ nas duas parcelas:
21³ =3*(1²+2²+3²+...+20²)+3*(1+2+3+....+20) +21
Fazendo S= 1²+2²+3²+...+20²
21³ =3*S+3*(1+2+3+....+20) +21
***1+2+3+....+20 é uma PA de razão 1 ==>Sn=(a1+an)*n/2=(1+20)*20/2=210
21³ =3*S+3*210+21
3*S=21³-3*210-21=8610