Question

Qual a soma dos 54 primeiros termos de uma PA onde a soma dos 3 primeiros é 24 e o produto destes termos é 312?

Answer 1

$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 24$
$a_{1} + (a_{1} + r) + (a_{1} + 2r) = 24$
$3a_{1} + 3r = 24$
$3(a_{1} + r) = 24$
$a_{1} + r = 24 / 3$
$a_{1} + r = 8$
$a_{2} = 8$

$a_{1} + r = 8$
$a_{1} = 8 - r$

$a_{1}*a_{2}*a_{3}=312$
$a_{1}*8*a_{3}=312$
$a_{1}*a_{3}=312/8$
$a_{1}*(a_{1} + 2r) = 39$
$(8 - r)(8 - r + 2r) = 39$
$(8 - r)(8 + r) = 39$
$8^{2} - r^{2} = 39$
$64 - 39 = r^{2}$
$25 = r^{2}$
$\sqrt{25} = r$
$r =5$

$a_{1} = 8 - r$
$a_{1} = 8 - 5$
$a_{1} = 3$
_______________________________

$a_{54} = a_{1} + 53r$
$a_{54} = 3 + 53*5$
$a_{54} = 3 + 265$
$a_{54} = 268$

$S_{n} = (a_{1} + a_{n})*n/2$
$S_{54} = (a_{1} + a_{54})*54/2$
$S_{54} = (3 + 268)*27$
$S_{54} = 271*27$
$S_{54} = 7317$

Answer 2

NOTA: Existem duas fórmulas pro cálculo da soma dos n primeiros termos de uma PA. São elas:
1- $S_n = n.a_1 + \frac{r.n.(n-1)}{2}$
2- $S_n = \frac{n.(a_1 + a_n)}{2}$
Vou usar, nessa questão, a fórmula número 1. Acho mais prática (mesmo sendo maior :P)

Pela definição de PA temos que:

$a_{2}= a_{1} + r$, que pode ser reescrito como $a_{1}= a_{2}-r$, e $a_{3} = a_{2}+r$.

A soma dos três primeiros termos vale, então:

$a_1 + a_2 + a_3 = 24$
$a_2-r + a_2 + a_2+r = 24$
$3.a_2 = 24$
$a_2 = 8$

Agora que temos o segundo termo podemos encontrar a razão:

$a_1.a_2.a_3 = 312$
$(a_2-r).8.(a_2+r) = 312$
$(8-r)(8+r) = 39$
$64-r^2=39$
$r^2 = 64-39 = 25$
$r = \pm 5$

Agora que temos o valor de r podemos encontrar o valor do primeiro termo. Como temos dois valores possíveis pra razão teremos dois valores possíveis pro $a_1$ e, portanto, pra soma dos 54 termos:

I) r=5
$a_1 = a_2 - r = 8-5$
$a_1 = 3$

Então a soma dos 54 termos vale:
$S_{54} = 54.3 + \frac{5.54.53}{2}$
$S_{54} = 162 + 7155$
$\boxed{S_{54} = 7317}$

II) r= -5
$a_1 = a_2 - r = 8-(-5) = 8+5$
$a_1 = 13$

Então a soma dos 54 termos vale:
$S_{54} = 54.13 + \frac{-5.54.53}{2}$
$S_{54} = 702 - 7155$
$\boxed{S_{54} = -6453}$