Question

Qual a soma das duas distâncias de p(0, 1) às retas (r): x + y + 2 = 0 e (s): x - y + 6 = 0?​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{4\sqrt{2}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para encontrarmos a soma das distância de um ponto até duas retas, devemos relembrar a fórmula utilizada em geometria analítica.

Seja um ponto genérico $(x_0,~y_0)$. Para encontrarmos sua distância até a reta $ax+by+c=0$, utilizamos a fórmula:

$d=\dfrac{|a\cdot x_0+b\cdot y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Então, temos que calcular as distâncias do ponto $(0,~1)$ até as retas de equação:

a) $r:~x+y+2=0$

Utilizando a fórmula e sabendo que os coeficientes são $a=1,~b=1,~c=2$, temos:

$d_{pr}=\dfrac{|1\cdot 0+1\cdot 1+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$d_{pr}=\dfrac{|0+1+2|}{\sqrt{1+1}}$

Some os valores

$d_{pr}=\dfrac{|3|}{\sqrt{2}}$

Sabemos que o módulo de um número positivo é o próprio número, logo

$d_{pr}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}$

Racionalize o denominador, multiplicando a fração por $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$d_{pr}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\\\\\\ d_{pr}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Esta é a distância do ponto até a reta r.

b) $s:~x-y+6=0$

Da mesma forma, substitua as coordenadas do ponto e os coeficientes $a=1,~b=-1,~c=6$ na fórmula:

$d_{ps}=\dfrac{|1\cdot 0-1\cdot 1+6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$d_{ps}=\dfrac{|0-1+6|}{\sqrt{1+1}}$

Some os valores

$d_{ps}=\dfrac{|5|}{\sqrt{2}}$

O módulo de um número positivo é o próprio número, então

$d_{ps}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}$

Racionalize o denominador

$d_{pr}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\\\\\\ d_{pr}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$

Esta é a distância entre o ponto e a reta s.

Somando as distâncias, temos:

$d_{pr}+d_{ps}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$

Temos o mesmo denominador, logo some os numeradores

$d_{pr}+d_{ps}=\dfrac{3\sqrt{2}+5\sqrt{2}}{2}\\\\\\ d_{pr}+d_{ps}=\dfrac{8\sqrt{2}}{2}$

Simplifique a fração

$d_{pr}+d_{ps}=4\sqrt{2}$

Esta é a soma das distâncias do ponto até as retas r e s.