Question

Qual a soma da série ∑n=2∞ 3 elevado a n-1 sobre 5 elevado a n.

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos calcular o resultado do seguinte somatório:

$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}~\dfrac{3^{n-1}}{5^n}}$.

Primeiro, aplicamos a propriedade de potências: $3^{n-1}=\dfrac{3^n}{3}$, de modo que tenhamos:

$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}~\dfrac{\dfrac{3^n}{3}}{5^n}}\\\\\\ \displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}~\dfrac{3^n}{3\cdot 5^n}}$

Reescreva a fração como um produto de frações da seguinte forma:

$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}~\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3^n}{5^n}}$

Aplique a propriedade de potências: $\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n,~b\neq0$

$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}~\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{3}{5}\right)^n}$

Aplique a propriedade da constante: $\displaystyle{\sum~c\cdot f(x)=c\cdot\sum~f(x)}$

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot\sum_{n=2}^{\infty}~\left(\dfrac{3}{5}\right)^n}$

Esta é uma série de potências, também conhecida como progressão geométrica.

Podemos calcular o valor do somatório infinito utilizando a fórmula: $\dfrac{a_1}{1-q}$, em que $a_1$ é o primeiro termo da sequência e $q$ é a razão da progressão, calculada como a razão entre um termo e seu antecessor, respectivamente.

Observe que, neste caso, $a_1=\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{9}{25}$ e $q=\dfrac{3}{5}$. Assim, teremos:

$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\dfrac{9}{25}}{1-\dfrac{3}{5}}$

Some os valores no denominador

$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\dfrac{9}{25}}{\dfrac{5-3}{5}}\\\\\\ \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\dfrac{9}{25}}{\dfrac{2}{5}}$

Calcule a fração de frações

$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{9\cdot5}{25\cdot2}$

Simplifique a fração por um fator $5$ e multiplique as frações

$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{9}{5\cdot2}\\\\\\ \dfrac{3}{10}~~\checkmark$

Este é o resultado deste somatório.