Question

Qual a solução das equações diferenciais separáveis a seguir?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Equações diferenciais separáveis

Dada as equações :

$~~~~~~~~\boxed {\sf{ y'~=~ \dfrac{x^3}{3+\sqrt{y}} } }$

• Para resolver a equação antes de nada vamos mudar a notação do NEWTON e usar a notação do LEIBNIZ :

$\iff \sf{ \dfrac{dy}{dx}~=~ \dfrac{x^3}{3+\sqrt{y}} }$

• Fazendo o produto dos extremos igual ao produto dos meios :

$\iff \sf{(3+\sqrt{y})dy ~=~ x^3dx }$

• Separada a equação, vamos aplicar integrais para ambos membros da equação :

$\iff \displaystyle\int\sf{3dy} + \displaystyle\int\sf{\sqrt{y}dy} ~=~\displaystyle\int\sf{x^3dx}$

$\iff \sf{ 3y }+\displaystyle\int\sf{y^{\frac{1}{2}}} ~=~ \sf{\dfrac{x^4}{4}}$

$\iff \sf{ 3y + \dfrac{y^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}~=~ \dfrac{x^4}{4} }$

$\iff \sf{3y ~=~\dfrac{2\sqrt{y^3}}{3}+\dfrac{x^4}{4} }$

$\red{ \iff \boxed{\sf{y~=~\dfrac{2y\sqrt{y}}{9}+\dfrac{x^4}{12} +C~,com~C\in\mathbb{R} } \sf{ \longleftarrow RESPOSTA } } }$$\checkmark$

Questão 2:

$~~~~~~~~~\boxed{\sf{ 2y'~=~x^2-3x }}$

• Fazendo a mesma ginastica ( usar a notacão do LEIBNIZ ) .

$\iff \sf{ 2\dfrac{dy}{dx}~=~ x^2-3x }$

$\iff \sf{ 2dy ~=~ (x^2-3x)dx }$

$\iff \displaystyle\int\sf{2dy} ~=~ \displaystyle\int\sf{x^2dx}-\displaystyle\int\sf{3xdx}$

$\iff \sf{ 2y ~=~ \dfrac{x^3}{3} - 3*\dfrac{x^2}{2} }$

$\green{\iff \boxed{\sf{ y~=~ \dfrac{x^3}{6}-\dfrac{3x^2}{4} + k~,com~k\in\mathbb{R} } \sf{ \longleftarrow RESPOSTA } } }$$\checkmark$

ESPERO TER AJUDADO BASTANTE=)