Matemática, perguntado por Gabriel2006Felipe, 9 meses atrás

Qual a solução da equação trigonométrica 2 . sen (x) = -1

Usuário anônimo: Quer a resposta em grau ou radiano?

Usuário anônimo: Ok

Usuário anônimo: Vou responder pelo celular mesmo

Usuário anônimo: Mas é melhor que eu responda, tem mais gente que precisa

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que o conjunto solução da referida equação trigonométrica é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = \left\{x \in \mathbb{R}\,|\, x' = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi,\:x'' = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi,\,k \in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

Seja a equação trigonométrica:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2\sin x = -1\end{gathered}$}$

Resolvendo a seguinte equação dada, temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}2\sin x & = -1\\\sin x & = -\frac{1}{2}\\ x & = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\\x & = - 30^{\circ}\end{aligned} $}$

Como a função seno é ímpar, então:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(- x) = -f(x)\end{gathered}$}$

Desta forma, temos dois ângulos no ciclo trigonométrico que possuem como seno o valor -1/2. Estes ângulos são:

$\Large\begin{cases} \alpha = -30^{\circ}\\\beta = -150^{\circ}\end{cases}$

Observe que estes ângulos estão sendo medidos no sentido horário - sinal negativo. Desta forma, estes ângulos são equivalentes aos seguintes ângulos medidos no sentido anti-horário - sinal positivo:

$\LARGE\begin{cases} \alpha \equiv \alpha' \Longrightarrow -30^{\circ} \equiv 330^{\circ } = \frac{11\pi}{6}rad\\\beta \equiv \beta' \Longrightarrow -150^{\circ}\equiv 210^{\circ} = \frac{7\pi}{6}rad\end{cases}$

A partir de então, sabemos que o conjunto solução desta equação, válido para todos os arcos côngruos à -30° e -150° é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = \left\{x \in \mathbb{R}\,|\, x' = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi,\:x'' = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi,\,k \in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

$\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}$