Question

qual a solução da equação diferencial x3.y'''-2xy'+4y=0

Answer 1

A equação diferencial dada é uma Equação de Cauchy-Euler. Ela é caracterizada por apresentar, em cada um de seus termos, a variável x com expoente igual à ordem da derivada de y que o acompanha. Por exemplo, $x^3$ está multiplicando $y'''$.

Um método para resolvê-la é usar a substituição: $x=e^z\Longrightarrow z=\ln(x)$, considerando x > 0. Dessa maneira, definamos uma nova função $w(z)$ tal que $w(z)=y(x)$. 

Considere que:

$\dfrac{dy}{dx}=y',~\dfrac{d^2y}{dx^2}=y'',~\dfrac{d^3y}{dx^3}=y'''$ e $\dfrac{dw}{dz}=w',~\dfrac{d^2w}{dz^2}=w'',~\dfrac{d^3w}{dz^3}=w'''$

Vamos agora analisar as expressões das derivadas de y:

→ Para y'(x):

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dw}{dx}\\\\ y'=\dfrac{dw}{dz}\cdot\dfrac{dz}{dx}\\\\ y'=w'\cdot\dfrac{d}{dx}(\ln x)\\\\ y'=w'\cdot\dfrac{1}{x}$


→ Para y''(x):

$\dfrac{d}{dx}(y')=\dfrac{d}{dx}\left(w'\cdot\dfrac{1}{x}\right)\\\ y''=\dfrac{d}{dx}(w')\cdot\dfrac{1}{x}+w'\cdot\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right)\\\\ y''=\dfrac{d}{dz}(w')\cdot\dfrac{dz}{dx}\cdot\dfrac{1}{x}+w'\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\\\\ y''=w''\cdot\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{x}-w'\cdot\dfrac{1}{x^2}\\\\ y''=(w''-w')\cdot\dfrac{1}{x^2}$

→ Para y'''(x):

$\dfrac{d}{dx}(y'')=\dfrac{d}{dx}\left[(w''-w')\cdot\dfrac{1}{x^2}\right]\\\\ y'''=\dfrac{d}{dx}(w''-w')\cdot\dfrac{1}{x^2}+(w''-w')\cdot\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x^2}\right)\\\\ y'''=\dfrac{d}{dz}(w''-w')\cdot\dfrac{dz}{dx}\cdot\dfrac{1}{x^2}+(w''-w')\cdot\left(-\dfrac{2}{x^3}\right)\\\\ y'''=(w'''-w'')\cdot\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{x^2}-(2w''-2w')\cdot\dfrac{1}{x^3}\\\\ y'''=(w'''-w'')\cdot\dfrac{1}{x^3}-(2w''-2w')\cdot\dfrac{1}{x^3}\\\\ y'''=(w'''-3w''+2w')\cdot\dfrac{1}{x^3}$

Substituindo o que foi encontrado acima na EDO dada:

$x^3y'''-2xy'+4y=0\\\\ x^3\left(\dfrac{w'''-3w''+2w'}{x^3}\right)-2x\left(\dfrac{w'}{x}\right)+4\left(w\right)=0\\\\ (w'''-3w''+2w')-2w'+4w=0\\\\ w'''-3w''+4w=0$

Agora, nosso trabalho se resume a resolver a EDO de terceira ordem acima. Como é homogênea, seja $w=e^{rz}$. Substituindo:

$w'''-3w''+4w=0\\\\ (e^{rz})'''-3(e^{rz})''+4(e^{rz})=0\\\\ r^3e^{rz}-3r^2e^{rz}+4e^{rz}=0\\\\ e^{rz}(r^3-3r^2+4)=0$

Como $e^{rz}\neq0$, o termo entre parênteses é nulo. Veja que r=-1 é raiz. Assim, resolvendo essa equação característica:

$r^3-3r^2+4=0\\\\ (r+1)(r^2-4r^2+4)=0\\\\ (r+1)(r-2)^2=0$

Portanto, as raízes são -1 e 2 (com multiplicidade 2). Assim, temos que a solução da EDO em w é:

$w=C_1e^{-1\cdot z}+e^{2z}(C_2z+C_3)\\\\ w=C_1e^{-z}+C_2e^{2z}z+C_3e^{2z}$

Logo, substituindo a função em z (que é w) pela função em x (que é y):

$w(z)=C_1e^{-z}+C_2e^{2z}z+C_3e^{2z}\\\\ y(x)=C_1e^{-\ln(x)}+C_2e^{2\ln(x)}\ln(x)+C_3e^{2\ln(x)}\\\\ \boxed{y(x)=C_1x^{-1}+C_2x^2\ln(x)+C_3x^2}$