Question

Qual a solução da Equação de Bernoulli abaixo? AJUDA​

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte equação diferencial:

$\dfrac{dy}{dx}-3y=-\dfrac{3}{2}\cdot xy^3$

Esta é uma equação diferencial ordinária não linear de primeira ordem, também conhecida como Equação de Bernoulli, que assume a forma $y'+P(x)y=Q(x)y^n$, com $n=3$.

Antes de calcular suas soluções, devemos reduzir o grau de $n$: para isso fazemos uma substituição $z=y^{1-n}$.

$z=y^{1-3}\\\\\\ z=y^{-2}$

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$:

$\dfrac{d}{dx}(z)=\dfrac{d}{dx}(y^{-2})$

Para calcular esta derivadas, lembre-se que:

• A derivada de uma função $y=y(x)$ é dita implícita e é calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(y(x))=\dfrac{d}{dy}(y(x))\cdot \dfrac{dy}{dx}$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da cadeia

$\dfrac{d}{dz}(z)\cdot \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dy}(y^{-2})\cdot \dfrac{dy}{dx}$

Aplique a regra da potência

$1\cdot z^{1-1}\cdot \dfrac{dz}{dx}=-2\cdot y^{-2-1}\cdot \dfrac{dy}{dx}\\\\\\ \dfrac{dz}{dx}=-2y^{-3}\cdot\dfrac{dy}{dx}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $-\dfrac{y^3}{2},~y\neq0$

$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y^3}{2}\cdot \dfrac{dz}{dx}$

Elevando ambos os lados da igualdade $z=y^{-2}$ a $(-1)$, teremos: $z^{-1}=y^2$, logo $y^3=z^{-\frac{3}{2}}$. Assim, fazemos:

$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{z^{-\frac{3}{2}}}{2}\cdot \dfrac{dz}{dx}$

Substituindo estes resultados na equação diferencial, temos:

$-\dfrac{z^{-\frac{3}{2}}}{2}\cdot \dfrac{dz}{dx}-3\cdot z^{-\frac{1}{2}}=-\dfrac{3}{2}\cdot x\cdot z^{-\frac{3}{2}}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $-2z^{\frac{3}{2}}$

$\dfrac{dz}{dx}+6z=3x$

Para resolvermos esta equação diferencial, utilizamos o método do fator integrante. Consiste em encontrar uma função $\mu(x)$ que satisfaça a seguinte igualdade: $\mu(x)\cdot z=\displaystyle{\int Q(x)\cdot \mu(x)\,dx}$. Este fator integrante pode ser calculado pela fórmula $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$.

Substituindo $P(x)=6$, temos:

$\mu(x)=e^{\int 6\,dx}$

Resolvemos a integral no expoente utilizando a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R},~n\neq-1}$.

$\mu(x)=e^{6x}$

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo fator integrante

$e^{6x}\cdot\left(\dfrac{dz}{dx}+6z\right)=e^{6x}\cdot 3x\\\\\\ e^{6x}\cdot \dfrac{dz}{dx}+6e^{6x}z=3x\cdot e^{6x}$

Podemos reescrever a expressão à esquerda da igualdade utilizando a regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.

$\dfrac{d}{dx}(e^{6x}\cdot z)=3x\cdot e^{6x}$

Integramos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$\displaystyle{\int \dfrac{d}{dx}(e^{6x}\cdot z)\,dx=\int 3x\cdot e^{6x}\,dx}$

Para resolver estas integrais, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A integral da derivada de uma função é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int \dfrac{d(F(x))}{dx}\,dx=F(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral da função exponencial é a própria função exponencial: $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x+C,~C\in\mathbb{R}}$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{\int \dfrac{d}{dx}(e^{6x}\cdot z)\,dx=3\cdot\int x\cdot e^{6x}\,dx}$

Faça uma substituição $t=6x$ na segunda integral. Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$:

$\dfrac{d}{dx}(t)=\dfrac{d}{dx}(6x)\\\\\\ \dfrac{dt}{dx}=6\\\\\\ dx=\dfrac{dt}{6}$

Assim, teremos:

$\displaystyle{\int \dfrac{d}{dx}(e^{6x}\cdot z)\,dx=3\cdot\int \dfrac{t}{6}\cdot e^{t}\cdot \dfrac{dt}{6}}$

Aplique a linearidade

$\displaystyle{\int \dfrac{d}{dx}(e^{6x}\cdot z)\,dx=\dfrac{1}{12}\cdot\int t\cdot e^{t}\,dt}$

A segunda integral deve ser calculada utilizando a técnica de integração por partes, mas não há espaço para a explicação. Veja em anexo a técnica de integração por tabela.

Aplique o TFC na primeira integral e resolva a segunda integral

$e^{6x}\cdot z=\dfrac{1}{12}\cdot\left(t\cdot e^t-e^t)$

Desfaça a substituição $t=6x$ e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$e^{6x}\cdot z=\dfrac{1}{12}\cdot(6x\cdot e^{6x}-e^{6x})+C\\\\\\ e^{6x}\cdot z=\dfrac{x\cdot e^{6x}}{2}-\dfrac{e^{6x}}{12}+C$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $e^{6x}$

$z=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{12}+Ce^{-6x}$

Desfaça a substituição $z=y^{-2}$

$\Large{\boxed{y^{-2}=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{12}+Ce^{-6x},~C\in\mathbb{R}}}$

Esta é a solução implícita desta equação diferencial.