Question

Qual a resposta? ∫ sen^3(x) dx

Answer 1

      Boa tarde Vince!

Primeiro vamos escrever a função integrável como produto.

$\int\limits (sen^{3}x) \, dx$

Produto da função

$(senx).(sen^{2}x)$ 
 
Relação fundamental trigonométrica.

$sen^{2}x+cos ^{2}x=1$

$sen ^{2}x=1-cos ^{2}x$

Agora vamos substituir ficando assim.

$(senx).(1-cos^{2}x)=senx+senx.cos^{2}x)$

Logo a integral fica desse jeito.

$\int\limits(sen^{3}x) dx= \int\limits(senx-senx.cos^{2}x)dx$ 
 
Reescrevendo a integral .

$\int\limits(senx)dx- \int\limits(senx.cos^{2}x)dx$ 

Essa integral ela tem na tabela é uma integral imediata então já vamos integra-lá

$\int\limits(senx)dx=-cosx$

Como a integral esta preparada vamos a substituição.

$\int\limits(senx.cos^{2}x)dx$

$u=cosx$

$du=-senx$

Logo a integral

$\int\limits(u)^{2}du= \int\limits \frac{(u)^{3}}{3} =- \frac{1}{3} \int\limits cos^{3} du$

Finalmente chegamos ao final.

$\int\limits(senx)dx- \int\limits(senx.cos^{2}x)dx=$

$-cosx- \int\limits- \frac{1}{3}cos^{3}x+c$

$-cosx+ \frac{1}{3} cos^{3}x+c$

Boa noite
Bons estudos