Question

Qual a resolução da integral l x² cos x dx ?

Answer 1

$I=\displaystyle\int{x^{2}\cos x\,dx}$

Método de integração por partes:

$\begin{array}{ll} u=x^{2}~~&~~du=2x\,dx\\ \\ dv=\cos x\,dx~~&~~v=\mathrm{sen\,}x \end{array}$


$\displaystyle\int{u\,dv}=uv-\int{v\,du}\\ \\ \\ \int{x^{2}\cos x\,dx}=x^{2}\,\mathrm{sen\,}x-\int{\mathrm{sen\,}x\cdot 2x\,dx}\\ \\ \\ I=x^{2}\,\mathrm{sen\,}x-2\underbrace{\int{x\,\mathrm{sen\,}x\,dx}}_{\begin{array}{c}\|\\I_{1} \end{array} }\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Calcularemos $I_{1}=\displaystyle\int{x\,\mathrm{sen\,}x\,dx}$ aplicando novamente o método de integração por partes:

$\begin{array}{ll} u=x~~&~~du=dx\\ \\ dv=\mathrm{sen\,} x\,dx~~&~~v=-\cos x \end{array}$


$\displaystyle\int{u\,dv}=uv-\int{v\,du}\\ \\ \\ \int{x\,\mathrm{sen\,}x\,dx}=-x\cos x-\int{(-\cos x)\,dx}\\ \\ \\ I_{1}=-x\cos x+\int{\cos x\,dx}\\ \\ \\ I_{1}=-x\cos x+\mathrm{sen\,}x+C_{1}$


Substituindo em $\mathbf{(i)},$ obtemos a integral pedida:

$I=x^{2}\,\mathrm{sen\,}x-2I_{1}\\ \\ I=x^{2}\,\mathrm{sen\,}x-2\cdot \left(-x\cos x+\mathrm{sen\,}x \right )+C\\ \\ I=x^{2}\,\mathrm{sen\,}x+2x\cos x-2\,\mathrm{sen\,}x+C\\ \\ I=(x^{2}-2)\,\mathrm{sen\,}x+2x\cos x+C\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\int{x^{2}\cos x\,dx}=(x^{2}-2)\,\mathrm{sen\,}x+2x\cos x+C \end{array}}$