Question

Qual a resolução da equação log de base 2 (3x-1) - log (x+1) = 1/2?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Ducyribeiro, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se para resolver a seguinte expressão logarítmica:

log₂ (3x-1) - log₂ (x+1) = 1/2

ii) Antes de iniciar, vamos para as condições de existência de expressões logarítmicas. Como só há logaritmos de números positivos (>0), então deveremos impor que os logaritmandos (3x-1) e (x+1) deverão ser positivos (>0). Dessa forma, vamos impor isto:

3x - 1 > 0
3x > 1
x > 1/3 ---- Esta é uma condição de existência para o 1º logaritmando.
e
x+1 > 0
x > - 1 ---- Esta é outra condição de existêhcia para o 2º logaritmando.

Agora veja: entre "x" ser maior do que "1/3" e maior do que "-1", então vai prevalecer a primeira hipótese, pois sendo 'x" maior do que "1/3" já o será maior do que "-1". Então a condição de existência para toda a expressão acima será esta:

x > 1/3 ----- Esta é a única condição de existência.

iii) Como já vimos qual é a condição de existência, vamos resolver a sua questão. Vamos repetir a expressão, que é esta:

log₂ (3x-1) - log₂ (x+1) = 1/2 ----- como as bases são iguais, então vamos transformar esta subtração em divisão, com o que ficaremos assim:

log₂ [(3x-1)/(x+1)] = 1/2 ----- note que se aplicarmos a definição de logaritmo, o que temos aqui é a mesma coisa que:

2¹/² = (3x-1)/(x+1) ---- note que 2¹/² é a mesma coisa que √(2). Logo, ficaremos assim:

√(2) = (3x-1)/(x+1) ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos assim:

[√(2)]² = [(3x-1)/(x+1)]² ----- desenvolvendo o quadrado nos 2 membros, ficaremos com:

2 = (9x²-6x+1)/(x²+2x+1) ---- multiplicando-se em cruz, ficaremos com:
2*(x²+2x+1) = 9x²-6x+1 ---- efetuando o produto indicado no 1º membro, teremos:

2x²+4x+2 = 9x²-6x+1  ---- passando todo o 1º membro para o 2º, temos:
0 = 9x²-6x+1 - 2x²-4x-2 ---- reduzindo os termos semelhantes:
0 = 7x² - 10x -1 ---- vamos apenas inverter, ficando:
7x² - 10x  - 1 = 0 ----- vamos aplicar Bháskara, cuja fórmula é esta:

x = [-b ± √(Δ)]/2a ---- sendo Δ = b²-4ac. Assim, substituindo, temos:
x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

Note que os coeficientes da equação que ficou [7x²-10x-1] são estes;

a = 7 ----- (é o coeficiente de x²)
b = -10 --- (é o coeficiente de x)
c = -1 ---- (é o coeficiente do termo independente).

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bhaskara acima, teremos:

x = [-(-10) ± √((-10)² - 4*7*(-1))]/2*7
x = [10 ± √(100+28)]/14
x = [10 ± √(128)]/14 ----- note que 128 = 2⁷ = 2².2².2².2¹ = 2².2².2².2. Assim, substituindo-se, teremos

x = [10 ± √(2².2².2².2)]/14 --- note que os "2" que estão ao quadrado sairão de dentro da raiz quadrada, ficando assim:

x = [10 ± 2.2.2√(2)]/14  --- ou apenas:
x = [10 ± 8√(2)]/14 ----- simplificando-se numerador e denominador por "2", iremos ficar apenas com:

x = [5 ± 4√(2)]/7 ---- daqui você já conclui que:

x' = [5 - 4√(2)]/7 ---- o que dá aproximadamente: "-0,0938", portanto não atendendo à condição de existência, que informa que "x" terá que ser maior do que "1/3". Logo, descartaremos esta primeira raiz.

x'' = [5 + 4√(2)]/7 --- o que dá aproximadamente " "1,52", portanto atendendo à condição de existência que informa que "x" terá que ser maior do que "1/3". Então esta raiz é válida. Logo, a resposta será:

x = [5 + 4√(2)]/7 <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.