Qual a relação entre a existência dos limites laterais e a do limite de uma função quando x → a? Se o limite existe, existem os limites laterais? Se existem os limites laterais, o limite existe? Dê exemplos.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Vide abaixo.
Explicação passo-a-passo:
Pela teoria dos limites, o limite de uma função f(x) quando x->a existe se o limite de f(x) quando x->a- for igual ao limite de f(x) quando x->a+.
Ou seja, se os limites laterais forem iguais, então existe o limite de f(x) cujo valor = lim f(x) = lim f(x).
x->a- x->a+
Essa teoria determina a unicidade do limite, ou seja, se existe lim f(x) quando x->a, então ele é único, quer dizer, os seus limites laterais são iguais.
Portanto, se lim f(x) <> lim f(x), então
x->a- x->a+
não existe limite para f(x)
Um exemplo é a função f(x) = 1/(x - 1), quando x->1. Observa que os limites laterais são diferentes:
Quando x->1-:
x 0,9. 0,99. 0,999. 0,9999. ...
f(x) -10. -100. -1000. -10000. ...
Ou seja, f(x) = 1/(x - 1) = -inf.
x->1-
Quando x->1+:
x 1,1. 1,01. 1,001. 1,0001. ...
f(x) 10. 100. 1000. 10000. ...
Ou seja, f(x) = 1/(x - 1) = +inf.
x->1+
Logo, como os limites laterais para f(x) são diferentes, então não existe lim f(x).
x->1
Agora pode haver casos em que os limites laterais sejam iguais, e para valor de x=a o valor de f(x) seja diferente.
Por exemplo, seja a função abaixo:
f(x): x^2 para x<>0
8 para x=0
Se fizer o gráfico dessa função, poderá ser visto uma parábola com a concavidade pra cima.
Podemos ver que, quando x->0, os seus limites laterais serão iguais a 0, logo o lim f(x) para x->0 é 0.
Porém observe nos parâmetros da função que, quando x for exatamente "0", f(x)=8. Ou seja, no ponto x=0, o ponto onde deveria estar em f(x)=0, muda para f(x)=8, gerando um "ponto vazio" na parábola em x=0.
Aqui temos um exemplo em que os limites laterais são diferentes de f(a). Quando ocorre isso, o limite da função permanece igual, porém devido ao limite de f(x) para x->a ser diferente de f(a) mostra que a função é descontínua, ou seja, há uma "interrupção" na continuidade da curva, caso contrário a função seria contínua.
Agora, respondendo suas perguntas:
Se o limite existe, existem os limites laterais?
Sim, e eles devem ser iguais.
Se existem os limites laterais, o limite existe?
Sim se eles forem iguais, caso contrário não existe limite.
Se eles forem iguais, e valor de f(x) no ponto for diferente desses limites, o limite continua existindo porém a função é descontínua.
Blz?
Abs :)