Question

Qual a quantidade de papel gasto para a construção de uma caixa com tampa
( despreze as abas) no formato de um prisma reto, de 10 cm de altura, cuja base é um
hexágono regular de 9 cm de lado?

Answer 1

Para calcular a quantidade de papel gasto temos que encontrar a área do prisma reto de base hexagonal. Sabemos que um prisma é um sólido cujas faces laterais são paralelogramos e possui duas faces paralelas congruentes.

Como a base é um hexágono, temos 6 faces laterais de comprimento e largura medindo 10 cm e 9 cm respectivamente (já que o comprimento é igual a altura do prisma e a largura igual ao lado do hexágono). Então a área das faces laterais é:

$A_L = 9 \cdot 10 = 90\\[1ex]A_L = 90 \cdot 6 = 540 \ cm^2$

Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros. Assim, para encontrar sua área, basta achar a área de um destes triângulos e multiplicar por 6. A área de um triângulo equilátero pode ser calculada pela fórmula:

$A_t =\dfrac{l^2\sqrt3}{4}$

Onde l é a medida do lado do triângulo.

Assim, a área do hexágono será:

$A_h = 6\cdot \dfrac{l^2\sqrt3}{4}$

$A_b = 6\cdot \dfrac{9^2\sqrt3}{4}$

$A_b = \dfrac{243\sqrt3}{2}$

Como são dois hexágonos, temos que multiplicar o valor encontrado por 2.

$A_b = \dfrac{243\sqrt3}{2} \cdot 2\\[2ex]A_b = 243\sqrt3$

A quantidade de papel gasto é a soma da área lateral com a área das bases.

$P = 540 + 243\sqrt3$

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