Question

qual a posição da reta s:2x + y + 2 = 0 em relaçao a circunferência
$(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$




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Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{d=\dfrac{1}{\sqrt{5}}<\sqrt{5}~\biggr|~A~reta~\'e~secante~\`a~circunfer\^encia}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos a fórmula para a distância do ponto à reta.

Lembre-se que:

• A equação reduzida de uma circunferência de centro $(x_c,~y_c)$ e raio $r$ é dada por: $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$.
• Existem três casos possíveis para a posição relativa da reta:

1. $d>r$, a reta é exterior à circunferência.
2. $d=r$, a reta é tangente à circunferência.
3. $d<r$, a reta é secante à circunferência.

Neste caso, $d$ é a distância entre o centro da circunferência e sua projeção ortogonal na reta.

Observe que a equação da circunferência já está reduzida. Comparando esta com a equação que foi descrita acima, facilmente podemos ver que o centro tem coordenadas $(-1,~1)$ e o raio tem medida igual a $\sqrt{5}$.

Dessa forma, seja uma equação geral de reta $ax+by+c=0$. A distância $d$ de um ponto até sua projeção ortogonal nesta reta é dada pela fórmula:

$d=\dfrac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Assim, substituindo os valores que conhecemos, teremos:

$d=\dfrac{|2\cdot (-1)+1\cdot 1+2|}{\sqrt{2^2+1^2}}$

Calcule as potências  e multiplique os valores

$d=\dfrac{|-2+1+2|}{\sqrt{4+1}}$

Some os valores

$d=\dfrac{|1|}{\sqrt{5}}$

O módulo de um número positivo é o próprio número

$d=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

Comparando esta distância com a medida do raio, observa-se que $d<r$.

Então, esta reta é secante à circunferência.