Question

Qual a parte real e a parte imaginária do número Z= 2/(1+i)^15

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Z = a + bi

REAL = a

Imaginária =b

Qual a parte real e a parte imaginária do número

Z= 2/(1+i)^15

       2

Z = ----------

      (1 +i)¹⁵   ===> veja   VAMOS desmembrar ( expoente IMPAR))

vejaa  (1 +i)¹⁵  = (1 +i)¹⁴.(1 +i)¹   =  ( 1 +i)¹⁴.(1 +i)

        2

------------------  mesmo que

(1 + i)¹⁴.(1 + i)¹

          2

-------------------

(1 + i)¹⁴.(1 + i)           atençãooo   ( FAZER  somente  (1 +i)¹⁴

======================================================

fica

(1 + i)¹⁴  =  [ ( 1 + i)²]⁷     atençãoooo   ( FAZER somennte (1 + i)²  DENTRO

=======================================================

(1 + i)²

(1 + i)(1 + i)   passo a passo

1(1) + 1(i)  + i(1) + i(i)

1    + 1i     + 1i   + i²

1 + 2i +i²   ====>( i² = - 1)

1 + 2i + (-1)

1 + 2i - 1

1 - 1 + 2i

0 + 2i

2i

assim

(1 +i)²=   (2i )

JUNTANDO

[ ( 1+ i)² ]⁷   fica

[ 2i ]⁷

[ 2i ] ⁷  = 2i.2i.2i.2i.2i.2i.2i

[2i ] ⁷ = 2.2.2.2.2.2.2.i.i.i.i.i.i.i.

[ 2i ]⁷ =                128 i⁷    

i⁰ = 1

i¹ = i  

i² =  - 1

i³ = - i

i⁴=  i².i² = (-1)(-1) = + 1 =   1

pa PARTIR do (4)    DIVIDIR  ( por 4))

i⁷  

  7    I__4___

- 4         1

 ---

  3   resto   ( olhar  o (( i³ = - i))   SEMPRE é o RESTO e divide por (4))

então

i⁷ = i³ = - i

assim

[ 2i ] ⁷ = 128i⁷

[ 2i] ⁷ = 128(- i)

[ 2i ] ⁷ = - 128i

TUDO

(1 +i)¹⁵=

(1 +i)¹⁴.(1 + i)

[ (1 +i)²]⁷.(1 + i)

[  (2i)]⁷. (1 +i)

(- 128i)(1+ i)

- 128i(1) - 128i(i)

- 128i  - 128i²   ===>( i² = -1)

- 128i - 128(-1)

- 128i + 128   mesmo que

128 - 128i  

assim

    2

-----------

(1 + i)¹⁵

   2

--------------   ( divide TUDO por 2)

128 - 128i

      1

-------------   MESMO QUE

64 - 64i

1                1

-----   - ----------

64            64i

parte REAL  = 1/64

parte imaginária = 1/64i