Question

Qual a o passo a passo até o resultado final desta questão? S√1+2x² dx

Answer 1

Resposta:

∫ √(1+2x²) dx

x=tan(u)/√2    ==> dx = sec²(u)/√2  du

√(1+2x²) =√(1+2tan²(u)/2) =√(1+tan²(u)) = sec(u)

∫ √(1+2x²) dx = ∫ sec(u) sec²(u)/√2  du

=(1/√2) *∫ sec³(u)  du

******

Desenvolvendo ∫ sec³(u)  du

∫ (sec(x))^m du =sen(u)*(sec(u))^(m-1)/(m-1) + (m-2)/(m-1) *∫ (sec(u))^(-2+m) du

para m= 3

=(1/2)*tan(u)*sec(u) +(1/2)*∫ sec(u) du

******

Desenvolvendo  ∫ sec(u) du

multiplique (tan(u)+sec(u))/(tan(u)+sec(u))

∫ (sec(u)*tan(u)+sec²(u))/(tan(u)+sec(u)) du

substitua s =tan(u)+sec(u)  

ds =sec²(u) +tan(u)*sec(u) du

=∫ 1/s  ds  = ln(s)

Como s =tan(u)+sec(u)

∫ sec(u) du =   ln(tan(u)+sec(u) )

Ficamos com:

=(1/2)*tan(u)*sec(u) +(1/2)*∫ sec(u) du

=(1/2)*tan(u)*sec(u) +(1/2)* ln(tan(u)+sec(u) )

Sabemos que x=tan(u)/√2    ==> u = arctang (x√2 )   e   √(1+2x²) = sec(u)

∫ √(1+2x²) dx

=(1/2)*tan(arctang (x√2 ))*√(1+2x²) +(1/2)* ln(tan(arctang (x√2 ))+√(1+2x²)  )