Question

Qual a matriz inversa de:

       3 2
A=
       1 1
A iguaa a  3,   2  sobre 1,   1 ( a matriz sai desconfigurada na questão).

Answer 1

Encontrar a matriz inversa de uma matriz conhecida é um processo que envolve multiplicação e igualdade de matrizes. Vejamos como ocorre este processo partindo da definição de uma matriz inversa. 


Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e Xuma matriz tal que A.X = In e X.A = In (onde In é a matriz identidade). Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz inversa de A, tendo como notação A(-1).

Portanto, para encontrar a inversa de uma matriz dada, deveremos resolver a igualdade de matrizes (A.X = In). No caso em que sejam dadas duas matrizes e que seja pedido para verificar se uma matriz é a inversa da outra, basta efetuar a multiplicação destas duas matrizes. Se o resultado desta operação for a matriz identidade, afirmaremos que se trata de uma matriz inversa. 

Para aqueles que já sabem calcular o determinante, existe um modo prático para descobrir se uma matriz possui uma matriz inversa ou não. Basta calcular o determinante da matriz: caso o determinante dê igual a zero, não existe matriz inversa para ela. 

Exemplo: 



A parte principal para matriz inversa é a parte onde se deve encontrá-la tendo como base uma matriz dada. Vejamos como proceder. 

Exemplo: Encontre a matriz inversa da matriz A. 



Sabemos que a matriz A-1 será uma matriz quadrada de mesma ordem. Explicite uma matriz inversa com elementos quaisquer. Sendo assim, usaremos letras para representar estes elementos.



Sabemos que ao multiplicarmos estas duas matrizes, obteremos a matriz identidade .

Por fim, teremos a seguinte igualdade:



Para tanto, deveremos compreender o processo de multiplicação de matrizes para realizarmos estes cálculos.



Através da igualdade de matrizes, obteremos 4 igualdades muito importantes para os nossos cálculos. Agrupá-las-emos de forma que as igualdades com mesmas incógnitas fiquem juntas.



Em situações como estas devemos resolver estes sistemas de equações com duas incógnitas. 

Resolvendo o sistema 1) pelo método da adição. 



Substituindo o valor de c, obteremos o valor de a.



Resolvendo o sistema 2) de forma análoga, obteremos os seguintes valores para as incógnitas:



Como encontramos os valores para os elementos da matriz inversa, vamos esboçá-la:



Neste primeiro momento verificaremos se de fato esta matriz corresponde à matriz inversa:



De fato, a matriz obtida corresponde à matriz inversa, pois o produto das duas matrizes resultou na matriz identidade. 
Como vimos, o estudo da matriz inversa abarca diversos conceitos da matemática, desde operações básicas até a resolução de sistemas com duas incógnitas. 
Compreender todos estes conceitos é importante, pois ao resolver equações envolvendo matrizes será requerido tal aprendizado. 


Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática

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