Question

Qual a inversa da Matriz:
[1 2]
[0 1] ​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-2\\0&1\\\end{bmatrix}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para invertermos essa matriz quadrada de ordem 2, utilizaremos alguns conhecimento sobre matriz adjunta.

A matriz adjunta consiste na matriz transposta (em que as linhas se tornam colunas) formada pelos cofatores da matriz original, multiplicada pelo inverso de seu determinante.

Em termos matemáticos, dada uma matriz genérica $A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix}$, sua inversa é dada por $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\cdot\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}\\ C_{12}&C_{22}\\\end{bmatrix}$, tal que os cofatores são calculados a partir da expressão $C_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det A_{ij}$, eliminando a linha e a coluna escolhida.

Precisamos calcular o determinante da matriz original, pois dependemos dele para saber se a matriz é invertível. Para que ela seja, basta que o determinante não seja nulo (igual a zero). Utilizaremos a Regra de Sarrus. Na matriz de ordem 2, consiste apenas em encontrar a diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja:

$\det A=1\cdot1-2\cdot0=1$

Então vamos para a prática.

Para calcularmos o cofator do elemento $a_{11}$, retiramos a primeira linha e a primeira coluna. Como se trata de uma matriz de ordem 2, sobraria apenas um elemento para compor a matriz. Sabendo que o determinante de uma matriz unitária é seu próprio elemento, ficamos com

$C_{11}=(-1)^{1+1}\cdot 1=1$

Replicando o processo com os três outros cofatores, temos:

$C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot 0\\\\\\ C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot 2\\\\\\ C_{22}=(-1)^{2+2}\cdot1$

Calculando as potências, temos

$C_{12}=0\\\\\\ C_{21}=-2\\\\\\ C_{22}=1$

Substituindo esses valores na fórmula comentada acima

$A^{-1}=\dfrac{1}{1}\cdot\begin{bmatrix}1&-2\\0&1\\\end{bmatrix}$

Para multiplicar uma matriz por uma constante, basta multiplicar todos os seus elementos por ela.

$A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-2\\0&1\\\end{bmatrix}$

Esta é a matriz inversa que procurávamos.

Para testar, basta confirmar se $A\cdot A^{-1}=I$, tal que $I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}$, conhecida como matriz identidade.