Question

qual a integral √x²+2⁴dx​

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int \sqrt{x {}^{2} + 16} \: dx$

Para resolver essa integral, vamos usar o método da substituição trigonométrica. No nosso caso o método usado é quando tem-se $\sqrt{x^2+a^2}$.

$\tan (\theta) = \frac{cateto \: oposto}{cateto \: adjacente}$

Vamos iniciar com essa relação e usando os dados do triângulo retângulo anexado:

$\tan( \theta) = \frac{x}{4} \: \: \to \: \: x = 4 \tan( \theta)$

Derivando "x" em relação ao ângulo, temos:

$\frac{dx}{d \theta} = 4. \sec {}^{2} ( \theta) \: \: \to \: \: dx = 4. \sec {}^{2}( \theta) \: d \theta$

Substituindo essas informações que obtivemos:

$\int \sqrt{(4. \tan( \theta)) {}^{2} + 16} \: . \: 4 \sec {}^{2} ( \theta) \: d \theta \: \: \: \: \\ \int \sqrt{16 . \tan {}^{2}( \theta) + 16 } \: . \: 4. \sec {}^{2} ( \theta) \: d \theta \: \: \: \: \\ \int \sqrt{16.(1 + \tan {}^{2} ( \theta))} \: . \: 4. \sec {}^{2} ( \theta) \: d \theta \: \: \: \:$

Pelas relações trigonométricas, sabemos que:

$\tan {}^{2} ( \theta) + 1 = \sec {}^{2} ( \theta)$

Portanto vamos substituir essa informação dentro da expressão (1 + tan²(a)):

$\int \sqrt{16. \sec {}^{2} ( \theta)} \: . \: 4. \sec {}^{2} ( \theta) \: d \theta \\ \int4 \sec( \theta) \: . \: 4 \sec {}^{2} ( \theta) \: d \theta \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \int 16 \sec {}^{3} ( \theta) \: d \theta \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Como podemos observar a secante está elevada ao cubo, ou seja, quando o expoente é ímpar, devemos resolver pelo método da integral por partes. Organizando esse integrando, temos que:

$16 \int \sec {}^{2} ( \theta ) \: . \: \sec( \theta) \: d \theta$

Nesse caso vamos pelo bom senso, a integral de sec²(a) é conhecida e simples, portanto, u = sec(a) e v = sec²(a). Derivando e integrando:

$u = \sec( \theta) \: \: e \: \: dv = \sec {}^{2} ( \theta) \\ \frac{du}{d \theta} = \sec( \theta). \tan( \theta) \: \: e \: \: v = \int \sec {}^{2} ( \theta) \: d \theta \\ du = \sec( \theta). \tan( \theta) \: d \theta \: \: e \: \: v = \tan( \theta)$

Substituindo essas informações na relação do método da integração por partes:

$\int u.v = u.v - \int v.du \\ \int \sec {}^{2}( \theta ) \: . \: \sec( \theta) = \sec( \theta). \tan( \theta) - \int \tan (\theta). \sec( \theta). \tan( \theta) \: d \theta \\ \int \sec {}^{2} ( \theta) \: . \: \sec( \theta) = \sec( \theta) \: . \: \tan( \theta) - \int \tan {}^{2} ( \theta). \sec( \theta) \: d \theta$

Usando a relação trigonométrica citada anteriormente, podemos abrir aquela expressão da tangente ao quadrado, fazendo isso, temos:

$\int \sec {}^{2} ( \theta) \: . \: \sec( \theta) = \sec( \theta) \: . \: \tan( \theta) - \int (\sec{}^{2} ( \theta) - 1). \sec( \theta) \: d \theta \\ \int \sec {}^{2} ( \theta) \: . \: \sec( \theta) = \sec( \theta) \: . \: \tan( \theta) - \int \sec{}^{3} ( \theta) + \int \sec( \theta) \: d \theta \: \:$

Na integral da sec²(a) . sec(a), podemos escrever que é basicamente a sec³(a), pois assim podemos combinar esse termo com o outro após a igualdade. Fazendo isso, temos:

$\int \sec {}^{3} ( \theta) + \int \sec {}^{3} ( \theta) = \sec( \theta) \: . \: \tan( \theta) + \int \sec( \theta) \: d \theta \\ 2 \int \sec {}^{3} ( \theta) = \sec( \theta). \tan( \theta) + \int \sec( \theta) \: d \theta$

Pelas tabelas de integrais, sabemos que a integral da sec(a) é dada por:

$\int \sec( \theta) = \ln( | \sec( \theta) + \tan( \theta)| ) + k$, então:

$2 \int \sec {}^{3} ( \theta) = \sec( \theta). \tan( \theta) + \ln( | \sec( \theta) + \tan( \theta) | ) \\ \int \sec {}^{3} ( \theta) = \frac{\sec( \theta). \tan( \theta)}{2} + \frac{\ln( | \sec( \theta) + \tan( \theta) | ) }{2} + k$

Portanto esse é o resultado. Agora vamos substituir essa informação lá na integral onde paramos:

$16 . \left(\frac{\sec( \theta). \tan( \theta)}{2} + \frac{\ln( | \sec( \theta) + \tan( \theta) | ) }{2} \right) \\ \\ 8.\sec( \theta). \tan( \theta) + 8\ln( | \sec( \theta) + \tan( \theta) | ) + k$

Para finalizar, temos que substituir as as informações com relação ao ângulo, pois elas fomos nós que criamos:

$\tan( \theta) = \frac{ \sin( \theta)}{ \cos( \theta)} \: \: \to \: \: \tan( \theta) = \frac{ \frac{x}{ \sqrt{x {}^{2} + 16} } }{ \frac{4}{ \sqrt{x {}^{2} + 16} } } \\ \\ \boxed{\tan( \theta) = \frac{x}{4} } \\ \\ \sec( \theta) = \frac{1}{ \cos( \theta)} \: \: \to \: \: \sec( \theta) = \frac{1}{ \frac{4}{ \sqrt{x {}^{2} + 16 } } } \\ \\ \boxed{\sec( \theta) = \frac{ \sqrt{x {}^{2} + 16 } }{4} }$

Substituindo essas informações:

$8. \left( \frac{ \sqrt{x {}^{2} + 16 } }{4} . \frac{x}{4} \right) + 8. \ln \left( \left| \frac{ \sqrt{x {}^{2} + 16} }{4} + \frac{x}{4} \right | \right) \\ \\ \boxed{ \left( \frac{x. \sqrt{x {}^{2} + 16} }{2} \right) + 8. \ln \left( \left| \frac{ \sqrt{x {}^{2} + 16} + x }{4} \right | \right) + k}$

Espero ter ajudado