Question

Qual a integral?
$\int\limits xe^\frac{-x}{2} \, dx$

Me ajudem por favor. Gostaria de aprender.

Muito Obrigado..

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos resolver a seguinte integral:

$\displaystyle{\int x\cdot e^{-\frac{x}{2}}\,dx}$

Para isso, utilizaremos a técnica de integração por partes.

A fórmula é dada por: $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du}$.

Primeiro, devemos escolher qual função será $u$ e qual será o diferencial $dv$. Para isso, utilizamos a propriedade LIATE, que consiste em dar prioridade às funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem.

Assim, façamos $u=x$ e $dv=e^{-\frac{x}{2}}\,dx$.

Diferenciamos a igualdade em $u$ e integramos a igualdade em $dv$:

$(u)'=(x)'\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{-\frac{x}{2}}\,dx}$

Calcule a derivada da potência, utilizando a regra $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$. Calcule a integral à esquerda da igualdade, utilizando a regra: $\displaystyle{\int dx=\int 1\,dx=x+C}$

$du=dx\\\\\\ \displaystyle{v=\int e^{-\frac{x}{2}}\,dx}$

Faça uma substituição $t=-\dfrac{x}{2}$ na integral e diferencie ambos os lados da igualdade, a fim de substituir o diferencial $dx$:

$(t)'=\left(-\dfrac{x}{2}\right)'$

Aplique a regra da constante: $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$ e da potência:

$dt=-\dfrac{1}{2}\,dx$

Então, teremos:

$\displaystyle{v=\int e^t\cdot\left(-\dfrac{dt}{2}\right)}$

Aplique a regra da constante: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$ e calcule a integral da função exponencial: $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x+C}$

$\displaystyle{v=-\dfrac{1}{2}\cdot\int e^t\,dt}\\\\\\ v = -\dfrac{1}{2}\cdot e^t$

Desfaça a substituição $t=-\dfrac{x}{2}$ e substitua os termos na fórmula de integração por partes.

$v=-\dfrac{e^{-\frac{x}{2}}}{2}\\\\\\ \displaystyle{x\cdot\left(-\dfrac{e^{-\frac{x}{2}}}{2}\right)-\int -\dfrac{e^{-\frac{x}{2}}}{2}\,dx}$

Multiplique os termos e aplique a regra da constante

$\displaystyle{-\dfrac{x\cdot e^{-\frac{x}{2}}}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \int e^{-\frac{x}{2}}\,dx}$

Calcule a integral, repetindo os passos anteriores

$-\dfrac{x\cdot e^{-\frac{x}{2}}}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{e^{-\frac{x}{2}}}{2}\right)$

Multiplique os termos e adicione a constante de integração

$-\dfrac{x\cdot e^{-\frac{x}{2}}}{2}-\dfrac{e^{-\frac{x}{2}}}{4} + C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.