Question

Qual a Integral?
$\int\limits {x^2e^{-4x} } \, dx$
Estou a horas tentando resolver, mas não encontro nenhum vídeo explicando...

Alguém pode me explicar como resolver?

Obrigado...

Answer 1

Resposta:

Não sei se esse é o resultado certo

Explicação passo-a-passo:

$\int {x}^{2} {e}^{ - 4x} = - {x}^{2} {e}^{ - 4x} + 2 \int \: - x{e}^{ - 4x} = \\ - {x}^{2} {e}^{ - 4x} + 2( - x {e}^{ - 4x} - {e}^{ - 4x} ) + c$

Caso queira saber desse assunto, procura por integração por partes, porque eu não vou conseguir apresentar a teoria.

Answer 2

A ideia vai ser fazer uma substituição simples e integrar por partes até não dar mais.

$\displaystyle \int \text x^2.\text e^{-4\text x}\text {dx}$

integração pelo método da substituição. Façamos :

$\text u = -4\text x$

$\text {du} = -4\text{dx} \to \displaystyle \text{dx} = \frac{\text{du}}{-4}$

e

$\displaystyle \text x^2 = \frac{\text u^2 }{16}$

Então  :

$\displaystyle \int \text x^2.\text e^{-4\text x}\text {dx}$

$\displaystyle \int \frac{\text u^2 .e^{\text u }}{16}.\frac{-\text {du}}{4}$

$\displaystyle \int \frac{-\text u^2 .e^{\text u }.\text{du}}{64}$

tirando a constante da integral, temos :

$\displaystyle \frac{-1}{64}. \int\text{u}^2.e^{\text u}\text{du }$  

Agora vamos usar a integração por partes :

$\displaystyle \int \text{p.dv} = \text{p.v} - \int \text{v.dp }$

façamos :

$\text p =\text u^2$

$\text {dp} = 2.\text u.\text{du }$

e

$\text {dv} = e^{\text u}$

$\int \text {dv} \to \text v = \text e^{\text u}$

substituindo na integral por partes :

$\displaystyle \frac{-1}{64}\int \text{u}^2.\text e^{\text u} \to \ \frac{-1}{64}.[\text{u}^2.\text e^{\text u} - \int \text e^{\text u}.\text {dp }]$

$\displaystyle \frac{-1}{64}.[\text{u}^2.\text e^{\text u} - \int \text 2.e^{\text u}.\text {u.du }]$  

Agora vamos aplicar a integração por partes de novo:

$\displaystyle \int \text{w.d m} = \text{w.m} - \int \text{m.dw }$

façamos :

$\text w = \text u$

$\text {dw} = \text {du }$

e

$\text {dm} = \text e^{\text u} \to \int \text{dm} = \text \text e^{\text u}$

Substituindo :

$\displaystyle \int 2\text{u.e}^{\text u}.\text{du }= 2[\text u.\text e^{\text u}- \int e^{\text u}\text {du}]$

$\displaystyle \int 2\text{u.e}^{\text u}.\text{du }= 2(\text u.\text e^{\text u}- \text e^{\text u})$

Voltando de onde paramos :

$\displaystyle \frac{-1}{64}.[\text{u}^2.\text e^{\text u} - \int \text 2.e^{\text u}.\text {u.du }]$

$\displaystyle \frac{-1}{64}.[\text{u}^2.\text e^{\text u} - \text 2.(\text u.\text e^{\text u}- \text e^{\text u }) ]$

$\displaystyle \frac{-1}{64}.[\text{u}^2.\text e^{\text u} - \text 2\text u.\text e^{\text u}+2. \text e^{\text u }]$

Desfazendo a substituição u = -4x :

$\displaystyle \frac{-1}{64}.[(-4.\text{x})^2.\text e^{-4\text x} - \text 2(-4\text x).\text e^{-4\text x}+2. \text e^{-4\text x }]$

$\displaystyle \frac{-\text e^{-4\text x} }{64}.[16.\text{x}^2 + 8\text x+2. ]$

simplificando por 2 e colocando a constante ( não pode esquecer da constante hehe ) :

$\huge\boxed{\displaystyle \frac{-\text e^{-4\text x} }{32}.[8.\text{x}^2 + 4\text x+1 ] + \text C }$