Question

Qual a Integral?

$\int\limits ln2 {x} \, dx$


Preciso entender as operações iniciais desta integral. Se alguém puder me ajudar agradeço.


Obrigado...

Answer 1

Olá,

Temos a integral:

$\tt \int ln(2x) dx$

Vamos resolver por integração por partes. Esse método em substituição os componentes da integral por duas funções u = u (x) e v = v (x), de tal forma que:

$\tt \int \: udv = uv - \int \: vdu$

Vamos escolher:

$\tt \: u = ln(2x) \\ \\ \tt \: du = \frac{2}{2x} dx \\ \\ \tt \: du = \frac{ \cancel2}{ \cancel{2}x} dx \\ \\ \tt \: du = \frac{1}{x} dx$

$\tt \: dv = dx \\ \\ \int \: dv = \int \: dx \\ \\ \tt \: v = x$

Substituindo na integral:

$\tt \int ln(2x) dx = x \: ln(2x) - \int \: x \: \frac{1}{x} dx \\ \\ \tt \int ln(2x) dx = x \: ln(2x) - \int \: \cancel{x} \: \frac{1}{ \cancel{x}} dx \\ \\ \tt \int ln(2x) dx = x \: ln(2x) - \int \: 1 dx \\ \\ \tt \int ln(2x) dx = x \: ln(2x) - x + k$

Desta forma:

$\boxed{\tt \int ln(2x) dx = x \: ln(2x) - x + k}$

Você também pode escrever:

$\boxed{\tt \int ln(2x) dx = x ( \: ln(2x) - 1) + k}$