Question

qual a integral dx/x^2+6x+3 por substituição ???

Answer 1

Calcular a integral indefinida

     $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+6x+3}\\\\\\ =\int \frac{1}{x^2+6x+9-9+3}\,dx\\\\\\ =\int\frac{dx}{(x^2+6x+9)-6}\\\\\\ =\int \frac{1}{(x+3)^2-(\sqrt{6})^2}$


Temos uma diferença entre quadrados no denominador. Fatore usando produtos notáveis:

    •   p² − q² = (p − q)(p + q)


e a integral fica

     $\displaystyle=\int\frac{1}{(x+3-\sqrt{6})(x+3+\sqrt{6})}\,dx\qquad\quad\mathbf{(i)}$


Agora, podemos decompor o integrando em frações parciais:

     $f(x)=\dfrac{1}{(x+3-\sqrt{6})(x+3+\sqrt{6})}=\dfrac{A}{x+3-\sqrt{6}}+\dfrac{B}{x+3+\sqrt{6}}\\\\\\ \dfrac{1}{(x+3-\sqrt{6})(x+3+\sqrt{6})}=\dfrac{A(x+3+\sqrt{6})+B(x+3-\sqrt{6})}{(x+3-\sqrt{6})(x+3+\sqrt{6})}\\\\\\ \dfrac{0x+1}{(x+3-\sqrt{6})(x+3+\sqrt{6})}=\dfrac{(A+B)x+(3+\sqrt{6})A+(3-\sqrt{6})B}{(x+3-\sqrt{6})(x+3+\sqrt{6})}$


Por identidade polinomial nos numeradores, obtemos o sistema

     $\left\{\! \begin{array}{l} A+B=0\\\\ (3+\sqrt{6})A+(3-\sqrt{6})B=1 \end{array} \right.$


Resolvendo esse sistema:

     $A+B=0\quad\Rightarrow\quad B=-A\\\\\\ (3+\sqrt{6})A+(3-\sqrt{6})(-A)=1\\\\ 3A+\sqrt{6}\,A-3A+\sqrt{6}\,A=1\\\\ 2\sqrt{6}\,A=1\\\\ A=\dfrac{1}{2\sqrt{6}}\quad\Rightarrow\quad B=-\,\dfrac{1}{2\sqrt{6}}$


Então, a integral  (i)  fica

     $\displaystyle=\int\frac{\frac{1}{2\sqrt{6}}}{x+3-\sqrt{6}}\,dx-\frac{\frac{1}{2\sqrt{6}}}{x+3+\sqrt{6}}\,dx\\\\\\ =\frac{1}{2\sqrt{6}}\int\frac{1}{x+3-\sqrt{6}}\,dx-\frac{1}{2\sqrt{6}}\int\frac{1}{x+3+\sqrt{6}}\,dx$

     $=\dfrac{1}{2\sqrt{6}}\ln\!\big|x+3-\sqrt{6}\big|-\dfrac{1}{2\sqrt{6}}\ln\!\big|x+3+\sqrt{6}\big|+C$

     esta é a resposta.


Bons estudos! :-)