Question

Qual a integral desta raiz abaixo no intervalo de 0 a 1?
$\sqrt{2 + {e}^{2t} + \frac{1}{ {e}^{2t} } } \: dt$
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Answer 1

Resposta:

$\displaystyle\int_0^1\sqrt{2+e^{2t}+\frac{1}{e^{2t}}}\,dt=e-\frac{1}{e}.$

Explicação passo a passo:

Calcular a integral definida

$\displaystyle\int_0^1\sqrt{2+e^{2t}+\frac{1}{e^{2t}}}\,dt\\\\\\ =\int_0^1\sqrt{2+e^{2t}+e^{-2t}}\,dt\\\\\\ =\int_0^1\sqrt{(e^t)^2+2+(e^{-t})^2}\,dt$

Reescreva $2=2\cdot e^t\cdot e^{-t},$ fazendo assim aparecer o quadrado de uma soma (produtos notáveis):

$\displaystyle=\int_0^1\sqrt{(e^t)^2+2\cdot e^t\cdot e^{-t}+(e^{-t})^2}\,dt\\\\\\ =\int_0^1\sqrt{(e^t+e^{-t})^2}\,dt$

Simplifique a raiz quadrada:

$\displaystyle=\int_0^1 |e^t+e^{-t}|\,dt$

A expressão dentro do módulo é uma soma de exponenciais, logo, sempre é um número positivo. Então, podemos dispensar o módulo:

$\displaystyle=\int_0^1 (e^t+e^{-t})\,dt\\\\\\ =(e^t-e^{-t})\Big|_0^1\\\\ =(e^1-e^{-1})-(e^0-e^{-0})\\\\ =\left(e-\frac{1}{e}\right)-(1-1)$

$=e-\dfrac{1}{e}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

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Bons estudos! :-)