Question

Qual a integral de x/1+x^4 dx?

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos resolver a seguinte integral:

$\displaystyle{\int \dfrac{x}{1+x^4}\,dx}$

Observe que podemos reescrever a potência $x^4=(x^2)^2$, de modo que tenhamos:

$\displaystyle{\int \dfrac{x}{1+(x^2)^2}\,dx}$

Faça uma substituição $u=x^2$. Diferenciamos ambos os lados da igualdade para encontrarmos o diferencial $du$:

$(u)'=(x^2)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função $u=u(x)$ é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia: $(u(x))'=u'(x)\cdot\dfrac{du}{dx}$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Calcule as derivadas

$1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}=2\cdot x^{2-1}\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=2x$

Multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial $dx$

$du=2x\,dx$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $2$

$\dfrac{du}{2}=x\,dx$

Observe que este elemento já está presente na integral. Logo, teremos:

$\displaystyle{\int \dfrac{\left(\dfrac{du}{2}\right)}{1+u^2}$

Calcule a fração de frações e aplique a linearidade: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$

$\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot\int \dfrac{du}{1+u^2}$

Calcule a integral imediata: $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{a^2+x^2}=\dfrac{1}{a}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)+C,~a\neq0$

$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1}\cdot\arctan\left(\dfrac{u}{1}\right)+C$

Desfaça a substituição $u=x^2$ e multiplique os termos

$\dfrac{1}{2}\cdot\arctan(x^2)+C,~C\in\mathbb{R}~~\checkmark$

Este é o resultado desta integral.