Question

Qual a integral de in^(π/6) até in^(π/2) e^v ×
cos(e^v) dv

Answer 1

Pelo que eu entendi a integral é dada por:

$\sf \int\limits_{ \frac{\pi}{2} }^{ \frac{\pi}{6} }(e {}^{v}.cos(e {}^{v} )) dv$

Primeiro vamos esquecer os limites:

$\sf \int(e {}^{v}.cos(e {}^{v} )) dv$

Para fazer a integração dessa função usaremos o método da integração por substituição, nesse método devemos nomear uma função para ser derivada, no caso será a função e^:

$\sf u = e {}^{v} \Longrightarrow \frac{du}{dv} = e {}^{v} \Longrightarrow du = e {}^{v} dv$

Fazendo as substituições de "u":

$\sf \int e {}^{v} dv.cos(e {}^{v} )\Longrightarrow \int cos(u)du$

Agora temos uma integral bem mais simples de resolver, pois basta lembrar qual é a derivada do cosseno e essa derivada será a resposta:

$\sf \int cos(u)du = sen(u) + k$

Fazendo a substituição da função que representa "u" no local da mesma:

$\sf sen(u) + k\Longrightarrow sen(e {}^{v} ) + k$

Aplicando o Teorema fundamental do cálculo:

$\sf sen(e {}^{v} ) + k \bigg |_{ \frac{\pi}{2} }^{ \frac{\pi}{6} } \\ \\ \sf sen(e {}^{ \frac{\pi}{6} } ) + k - sen(e {}^{ \frac{\pi}{2} } ) - k \\ \\ \boxed{ \boxed{\sf sen(e {}^{ \frac{\pi}{6} } ) - sen(e {}^{ \frac{\pi}{2} } ) }}$

Espero ter ajudado