Question

Qual a integral de dx/(x - 1)^3 tendendo de 1 a infinito?

Answer 1

Resolução da questão, vejamos:

Para resolvermos isso, vamos utilizar a seguinte propriedade e algumas substituições:

$\mathsf{\displaystyle\int_{a}^{\infty}f(t)~dt}}=\mathsf{\displaystyle\lim_{u~\to~\infty}~\displayatyle\int_{a}^{u}~f(t)~dt}}}$

Deste modo, seguindo a propriedade acima, teremos que:

$\mathsf{\displaystyle\int_{1}^{\infty}~\dfrac{dx}{(x-1)^{3}}=\mathsf{\displaystyle\lim_{b~\to~\infty}~\displaystyle\int_{1}^{b}~\dfrac{dx}{(x-1)^{3}}}}}}$

Façamos as seguintes substituições:

U = x - 1 => dU = dx => x = 1;

U = 0 e x = b;

U = b - 1.

Vejamos:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{b~\to~\infty}~\displaystyle\int_{0}^{b-1}~\dfrac{dU}{U^{3}}}=\mathsf{\displaystyle\lim_{b~\to~\infty}~\displaystyle\int_{0}^{b-1}~U^{-3}~dU}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{b~\to~\infty}~\dfrac{-1}{2U^{2}}\bigg|_{0}^{b-1}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{b~\to~\infty}~\left[\dfrac{-1}{2(b-1)^{2}}+\dfrac{1}{2~\cdot~0}\right]}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{b~\to~\infty}~\left[\dfrac{-1}{2(b-1)^{2}}+\dfrac{1}{0}\right]}}}$

Pronto, já podemos parar por aqui e deduzir-mos que essa integral é divergente, uma vez que não existe divisão por 0 (1/0) e também pela seguinte definição:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{b~\to~\infty}~\left(\dfrac{1}{0}\right)=\infty}}}}}}}$

Portanto, a integral em questão não converge, assim sendo, a mesma não pode ser calculada.

Espero que te ajude. (^.^)

Qualquer dúvida só comentar.