Question

qual a integral de dx sobre raiz quadrada de 1-9x ao quadrado com os limites de integração de 0 a 1/6

Answer 1

a integral dada é

\int_{0}^{1/6} dx/√1-9x²

farei a seguinte transformação

1-9x²=9(1/9-x²)

\int_{0}^{1/6} 1/√9(1/9-x²). dx
\int_{0}^{1/6} 1/3√1/9-x². dx
como 1/3 é constante pode ser retirado da integral

1/3 \int_{0}^{1/6} 1/√1/9-x² dx

por substituição trigonométrica

√a²-x²=> x=a.sen(b)

a=1/3
x=Sen (b)/3
dx=Cos (b)/3 db

1/3 \int_{0}^{1/6} 1/√1/9-sen²(b)/9 . Cos (b)/3 db

sen²b+cos²b=1
1-sen²b=cos²b


1/3 \int_{0}^{1/6} 1/√cos²(b)/9 .Cos(b)/3 db
1/3 \int_{0}^{1/6} 1/Cos(b)/3.cos(b)/3 db
1/3 \int_{0}^{1/6} db

1/3. b] {0;1/6}

agora calculamos b

x=a.sen(b)
sen(b)=x/a
b= arc Sen(x/a)
b=arc sen(x/1/3)
b=arc Sen(3x)
deixarei as medidas em radianos

b=arc Sen(3.0)=arc Sen(0)=0 (em radianos)
b=arc Sen(3.1/6)=arc Sen(1/2)=π/6

1/3.(π/6-0)=1/3.π/6=π/18.

Resposta: \.:{π/18}:./
_______________

Answer 2

Calcular a integral definida:

    $\mathsf{\displaystyle\int_0^{1/6}\frac{dx}{\sqrt{1-9x^2}}}$

Faça a seguinte substituição trigonométrica:

    $\begin{array}{rcl} \mathsf{3x=sen\,\theta}&\quad\Longrightarrow\quad&\mathsf{x=\dfrac{1}{3}\,sen\,\theta}\\\\ &&\mathsf{dx=\dfrac{1}{3}\,cos\,\theta\,d\theta}\\\\ &&\mathsf{\theta=arcsen(3x)} \end{array}$

com $\mathsf{0\le \theta\le \frac{\pi}{2}.}$ Além disso, temos que

    $\mathsf{\sqrt{1-9x^2}=\sqrt{1-(3x)^2}}\\\\ \mathsf{\sqrt{1-9x^2}=\sqrt{1-sen^2\,\theta}}\\\\ \mathsf{\sqrt{1-9x^2}=\sqrt{cos^2\,\theta}}\\\\ \mathsf{\sqrt{1-9x^2}=|cos\,\theta|}$

Como o cosseno nunca é negativo para $\mathsf{0\le \theta\le \frac{\pi}{2},}$ podemos dispensar o módulo:

    $\mathsf{\sqrt{1-9x^2}=cos\,\theta}$

Novos limites de integração em θ:

    $\begin{array}{rcl} \mathsf{Para~x=0}&\quad\Longrightarrow&\mathsf{\theta=arcsen(3\cdot 0)}\\\\ &&\mathsf{\theta=arcsen(0)}\\\\ &&\mathsf{\theta=0}\\\\\\ \mathsf{Para~x=\dfrac{1}{6}}&\quad\Longrightarrow&\mathsf{\theta=arcsen\Big(3\cdot \dfrac{1}{6}\Big)}\\\\ &&\mathsf{\theta=arcsen\Big(\dfrac{1}{2}\Big)}\\\\ &&\mathsf{\theta=\dfrac{\pi}{6}} \end{array}$

Substituindo, a integral fica

    $\mathsf{\displaystyle=\int_0^{\pi/6}\frac{1}{cos\,\theta}\cdot \frac{1}{3}\,cos\,\theta\,d\theta}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle=\frac{1}{3}\int_0^{\pi/6}d\theta}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1}{3}\cdot \theta\Big|_0^{\pi/6}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1}{3}\cdot \Big(\dfrac{\pi}{6}-0\Big)}$

    $\mathsf{=\dfrac{\pi}{18}\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

Bons estudos! :-)