Question

qual a integral de cos^3(x) dx?

Answer 1

Temos o seguinte:

$\int\limits {cos^3(x)} \, dx$

Organizando:

$\int\limits {cos^3(x)} \, dx = \int\limits {cos^2(x) * cos(x)} \, dx$

Temos que:

$cos^2(x) + sen^2(x) = 1 \\ \\ cos^2(x) = 1 - sen^2(x)$

Logo:

$\int\limits {cos^2(x) * cos(x)} \, dx \\ \\ \int\limits {(1 - sen^2(x)) * cos(x)} \, dx$

Aplicando a integral por substituição:

$\int\limits {(1 - sen^2(x)) * cos(x)} \, dx \\ \\ u = sen(x)~\to~du = cos(x)*dx \\ \\ \int\limits {(1 - u^2) du =\int\limits {1 du - \int\limits {u^2du = u - \dfrac{u^3}{3}$

Logo substituindo o valor de u:

$\int\limits {cos^3(x)*dx = sen(x) - \dfrac{sen^3(x)}{3} + C$