Question

Qual a integral de 2x²-x+4/x³+4x

Answer 1

Boa tarde.

Vamos utilizar o método de Frações Parciais. Para isso, vamos tentar escrever a fração dada como uma soma de duas outras frações da forma:

$\dfrac{2x^2-x+4}{x^3+4x}=\dfrac{2x^2-x+4}{x(x^2+4)} \\ \\ \\ \dfrac{2x^2-x+4}{x(x^2+4)} = \dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^2+4}$

Agora colocamos os termos do segundo lado em um mesmo denominador, que é x³ + 4x:

$\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^2+4} =\dfrac{A(x^2+4)+(Bx+C)x}{x(x^2+4)}$

Portanto, teremos que:

 $\dfrac{2x^2-x+4}{x(x^2+4)} = \dfrac{A(x^2+4)+(Bx+C)x}{x(x^2+4)}$

Note que podemos nos ater apenas ao numerador, que deverá ser o mesmo nos dois lados:

$\boxed{2x^2-x+4=A(x^2+4)+(Bx+C)x}$

Nessa equação, se fizermos x = 0, teremos um igualdade:

$4 = 4A\\ \\ \boxed{A = 1}$

Se fizermos x = 2i, teremos outra:

$2(2i)^2-2i+4=A[(2i)^2+4]+(2Bi+C)(2i)\\ \\ 2(-4)-2i+4=0A -4B+2Ci\\ \\ -4-2i = -4B+2Ci$

Da igualdade de complexos, teremos duas equações:

$-4=-4B\ \Rightarrow \boxed{B = 1}\\ \\ -2i = 2Ci \ \Rightarrow \boxed{C = -1}$

Então poderemos escrever a fração como:

$\dfrac{2x^2-x+4}{x^3+4x}= \dfrac{1}{x}+\dfrac{x-1}{x^2+4}$

Portanto:

$\displaystyle\int\dfrac{2x^2-x+4}{x^3+4x}dx = \displaystyle\int\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{x-1}{x^2+4}\right)dx\\ \\ \\ \\ =\displaystyle\int\dfrac{dx}{x} +\displaystyle\int\dfrac{x-1}{x^2+4}dx$

A primeira integral é imediata: ln|x| + C, então vamos à segunda, inicialmente a dividindo em duas integrais:

$\displaystyle\int\dfrac{x-1}{x^2+4}dx=\displaystyle\int\dfrac{xdx}{x^2+4}-\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^2+4}$

A primeira integral dessa separação faremos por substituição:

$u = x^2+4\to du=2xdx\\ \\ \displaystyle\int\dfrac{xdx}{x^2+4} = \displaystyle\int\dfrac{\frac{du}{2}}{u}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{du}{u} = \dfrac{\ln|u|}{2}+C_1=\dfrac{\ln|x^2+4|}{2}+C_1$

A segunda, lembraremos que:

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^2+a^2}=\dfrac{1}{a}arctg\left(\dfrac{x}{a}\right)+C$

Então:

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^2+4} = \dfrac{1}{2}arctg\left(\dfrac{x}{2}\right)+C_2$

Agora podemos voltar à integral inicial:

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x} +\displaystyle\int\dfrac{x-1}{x^2+4}dx = \ln|x| + \dfrac{\ln|x^2+4|}{2} - \dfrac{arctg(\frac{x}{2})}{2}+C$

Assim:

$\boxed{\displaystyle\int\dfrac{2x^2-x+4}{x^3+4x}=\ln|x| + \dfrac{\ln|x^2+4|}{2} - \dfrac{arctg(\frac{x}{2})}{2}+C}$



Bons estudos!