Question

Qual a integral de 2x /x²+3 dx​

Answer 1

$\displaystyle \int \frac{2\text x}{\text x^2+3}\text{dx}$

tirando a constante  :

$\displaystyle 2.\int \frac{\text x}{\text x^2+3}\text{dx}$

Façamos :

$\text x^2+3 = \text u$

Derivando  :

$\displaystyle \text{dx}\ 2\text x=\text {du} \\\\ \text{dx}\ \text x=\frac{\text {du}}{2}$

Substituindo na integral :

$\displaystyle 2.\int \frac{\text{du}}{2.\text u} \\\\\\\ 2.\frac{1}{2}.\int \frac{\text{du}}{\text u} \\\\\\ 1.\text{ln}|\text u| + \text C$

desfazendo a troca de variável :

$\boxed{\text{ln}|\text x^2+3| + \text C}$

Portanto :

$\huge\boxed{\displaystyle \int \frac{2\text x}{\text x^2+3}\text{dx} = \text{ln}|\text x^2+3|+\text C\ }\checkmark$

Answer 2

• O resultado da integral dada é ln| x² + 3 | + k.

Para começarmos a resolver sua questão, devemos aplicar a seguinte propriedade de integração:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int a\cdot x\ dx \Leftrightarrow a\cdot \int x\ dx\end{aligned}$

Logo, aplicando na sua integral, temos:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int \frac{2x}{x^2 +3}\ dx \Leftrightarrow 2\cdot \int \frac{1}{x^2+3}\ xdx \end{aligned}$

Feito isso, devemos agora aplicar o método da substituição simples. Que consiste na substituição por uma incógnita. Logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned}u\Rightarrow x^2 +3 \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}dx\ x \Rightarrow \frac{du}{2} \end{aligned}$

• Substituindo na integral:

$\large\displaystyle\begin{aligned}2\cdot \int \frac{1}{x^2+3}\ xdx \Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}2\cdot \int \frac{1}{u}\ \cdot \frac{du}{2} \Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}2\cdot \int \frac{du}{2\cdot u}\Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}2\cdot \frac{1}{2} \int \frac{du}{ u}\Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \frac{2}{2} \int \frac{du}{ u}\Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} 1 \int \frac{du}{ u}\Leftrightarrow\end{aligned}$

• Lembrando que a integral de du/u é igual ao logaritmo natural de u. Logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned} 1 \cdot ln|\ u\ |+k\Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} ln|\ u\ |+k\Leftrightarrow\end{aligned}$

• Substituindo u por x² + 3:

$\large\displaystyle\begin{aligned} ln|\ x^2+3\ |+k\Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int \frac{2x}{x^2 +3}\ dx \Leftrightarrow \boxed{\boxed{\green{ln|\ x^2+3\ |+k}}} \end{aligned} }$

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Integrais.

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