Question

qual a função que descreve a trajetória da bola

Answer 1

Bom, nossa função terá a forma ax² + bx + c, e de acordo com a imagem, essa função passa por P = (0,2), Q = (4.6,3), convertendo em fração, temos o ponto Q = (23/5,3), e também, possui uma tangente horizontal em x = 3.5 que equivale a 7/2.


1 - Façamos f(0) = 2

$ax^2+bx+c \\ \\ a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 2 \\ \\ c =2$

Nossa nova função é ax² + bx + 2

2 - Façamos f(23/5) = 3

$\displaystyle ax^2+bx+2 \\ \\ \\ a \cdot (\frac{23}{5})^2 + b \cdot \frac{23}{5} + 2 = 3 \\ \\ \\ \frac{529}{25}a+\frac{23}{5}b=-1$

3 - Vamos derivar a função, substituir x por 7/2 e igualar a zero, já que há uma tangente horizontal nesse ponto.

$\displaystyle y=ax^2+bx+2 \\ \\ y'=2ax+b \\ \\ 2a \cdot \frac{7}{2}+b=0 \\ \\ 7a+b=0$

Veja, temos um sistema linear:

$\displaystyle \left \{ {{\displaystyle \frac{529}{25}a+\frac{23}{5}b=-1} \atop {\displaystyle 7a+b=0}} \right.$

Multiplicando o segundo membro por -23/5, obtemos:

$\displaystyle \left \{ {{ \displaystyle \frac{529}{25}a+\frac{23}{5}b=-1} \atop {\displaystyle -\frac{161}{5}a-\frac{23}{5}b=0}} \right. \\ \\ \\ \frac{529}{25}a-\frac{161}{5}a=-1 \\ \\ \\ -\frac{276}{25}a=-1 \\ \\ \\ a = \frac{25}{276}$

Portanto b é igual:

$\displaystyle 7a+b=0 \\ \\ \\ 7 \cdot \frac{25}{276}+b=0 \\ \\ \\ \frac{175}{276}+b=0 \\ \\ \\ b=-\frac{175}{276}$

A função procurada é:

$\displaystyle f(x) = \frac{25}{276}x^2-\frac{175}{276}x+2$

No entanto, a > 0 faz a concavidade dessa função ser voltada para cima, e b < 0 faz o vértice dessa função pertencer ao segundo quadrante. Daí rearranjando os sinais, obtemos a função final que atende à todos os requisitos:

$\displaystyle \boxed{ f(x)= -\frac{25}{276}x^2+\frac{175}{276}x+2 }$