Question

Qual a função geratriz correspondente aos seguintes números racionais A=0,388888...
B= 1,21212121...
C=3,8666..
D=2,312 (tem um traço encima do 321 n soube como colocar)
E=1,0666...
F=2,364(tbm tem um tracinhos mas somente no 4)
G=28,5
H=12,25

Answer 1

As frações/funções geratrizes são, respectivamente, $\frac{35}{90}$ ; $\frac{120}{99}$ ; $\frac{348}{90}$ ; $\frac{2310}{999}$ ; $\frac{96}{90}$ ; $\frac{2128}{900}$ ; 57/2 ; 49/4.

Chamamos de fração geratriz aquela que da a origem ao número racional, podendo ser ou não uma dízima periódica.

Uma dízima periódica pode ser simples ou composta, a simples é formada por um período, que é o número que repete.  Já a composta, possui um número antes do período, chamada de antiperíodo, e este não se repete.

Para encontrarmos a fração geratriz em uma dízima simples, basta encontrarmos o período. Exemplo:

0,33333....

O período é 3. Neste caso este vai ser o numerador, já o denominador será o número 9 (caso o período seja formado por 2 números o denominador é 99, caso seja formado por 3 números o denominador será 999 e assim sucessivamente).

Portanto, a fração geratriz será:

$\frac{3}{9}$

Nas dízimas compostas, será um pouco diferente, observe:

0,1299999...

O período é 9 e o antiperíodo é 12. Então devemos pegar o número formado pelo antiperíodo e período (129) e subtrair o antiperíodo (12)

129-12 = 117

Este sera o numerador, já o denominador será formado novamente pelo 9 de acordo com a quantidade de números no período, porém vamos adicionar o número 0, este também varia de acordo com a quantidade de números do antiperíodo. Portanto:

$\frac{117}{900}$

Sabendo isso vamos aos cálculos:

A=0,38888....

Uma dízima composta, sendo 3 o antiperíodo e 8 o período. Portanto:

$\frac{38-3}{90}$

$\frac{35}{90}$

B=1,21212121....

Esta é uma dízima simples, e equivale a 1 + 0,21212121. Sabendo que o período é 21.

$1+\frac{21}{99}$

$\frac{1.99+21}{99}$

$\frac{120}{99}$

C=3,86666...

Esta é uma dízima composta, e equivale a 3 + 0,86666. Sendo o período 6 e o antiperíodo 8, então:

$3+\frac{86-8}{90}$

$\frac{3.90+78}{90}$

$\frac{348}{90}$

D=2,312312312...

Dízima simples com período 312.

$2+\frac{312}{999}$

$\frac{2.999+312}{999}$

$\frac{2310}{999}$

E=1,0666...

Período 6 e antiperíodo 0

$1+\frac{06-0}{90}$

$\frac{1.90+6}{90}$

$\frac{96}{90}$

F=2,3644444...

Período 4 antiperíodo 36.

$2+\frac{364-36}{900}$

$\frac{2.900+328}{900}$

$\frac{2128}{900}$

G=28,5 (Não é uma dízima)

Equivale a 57/2

H=12,25 (Não é uma dízima)

Equivale a 49/4

Espero ter ajudado!

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Bons estudos!