Question

Qual a fraçao geratriz de 2,333...

Answer 1

Não gosto de usar aquelas fórmulas que os professores passam, então vou te mostrar 2 métodos de resolução:

Podemos resolver com uma manipulação básica em equações:

$2,333...=2+0,333...$

Chamemos 0,333... de x:

$x=0,333...$

Multiplicaremos a equação por 10, pra separar o período da dízima:

$10x=3,333...\\10x=3+0,333...\\10x=3+x\\10x-x=3\\9x=3\\3x=1\\x=1/3$

Agora:

$2,333...=2+0,333...=2+\dfrac{1}{3}=\dfrac{6+1}{3}=\dfrac{7}{3}$
___________________

Também podemos resolver por progressão geométrica:

$2,333...=2+0,333...$

Se desmembrarmos 0,333..., chegamos na soma infinita:

$0,333...=0,3+0,03+0,003+0,0003+...$

Essa soma é a soma dos infinitos termos de uma PG de razão 0,1 ou 1/10

$S_{n}=\dfrac{a_{1}}{1-q}\\\\\\0,333...=\dfrac{0,3}{1-(\frac{1}{10})}\\\\\\0,333...=\dfrac{(\frac{3}{10})}{(\frac{10-1}{10})}\\\\\\0,333...=\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{10}{9}\\\\\\0,333...=\dfrac{3}{9}\\\\\\0,333...=\dfrac{1}{3}$

Achando 2,333...

$2,333...=2+0,333....=2+\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}$

Answer 2

Só pra fazer de uma maneira alternativa

$x=2.333...$

$10x=23.333...$

agora

$10x-x=23.333...-2.333...$

$9x=21$

$x=\frac{21}{9}$

da para simplificar tudo por 3

$\boxed{\boxed{x=\frac{7}{3}}}$