Qual a fração geratriz de 2,324444...
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Fração geratriz é um tipo de fração que, ao dividir o seu numerador pelo denominador, é obtido uma dízima periódica (número decimal infinito). Esse número pertence ao conjunto dos números racionais (Q).
Os números decimais periódicos possuem um ou mais algarismos que se repetem de forma infinita. Confira abaixo alguns exemplos:
• 0,11111...
• 1,3535...
• 0,3177...
• 2,5555...
Dizimas periódicas
Dízimas periódicas são frações cuja divisão resulta em um número decimal não exato, ou seja, a divisão da fração gera um número com infinitas casas decimais. O algarismo ou os algarismos que se repetem infinitamente correspondem ao período dessa dízima.
Além do período, as dízimas possuem outras dois elementos: parte inteira e anteperíodo. A parte inteira é aquela antes da vírgula, ou seja, antecede as casas decimais. Já o anteperíodo é a parte do número que está após a vírgula.
Por exemplo, na dízima periódica 45,76555..., podemos identificar o 45 como a parte inteira, o 76 como o anteperíodo e 5 como o período. Note também que as dízimas periódicas possuem reticências (...) ao final do número para indicar a sua infinidade.
Quando a parte decimal da dizima é formada apenas pelo período, ela é classificada como simples. Já quando além do período na parte decimal existir algarismos que não se repetem, a dízima é composta. Veja abaixo alguns exemplos:
• 25,33333... (dízima periódica simples)
• 0,5666... (dízima periódica composta)
• 1,15333 .... (dízima periódica composta)
Como calcular uma fração geratriz
Como mencionado, as dízimas fazem parte do conjunto dos números racionais. Sendo assim, todas elas possuem uma fração que, ao dividir o numerador pelo denominador, encontramos essa dízima. Determinar essa fração permite, consequentemente, a realização de várias operações matemáticas.
No cálculo da fração geratriz, algumas etapas devem ser feitas. Veja abaixo:
1°: igualar a dízima periódica a qualquer incógnita, como x, a fim de formar uma equação de primeiro grau;
2°: multiplicar os dois lados da equação por um múltiplo 10, de acordo com o número de casas decimais. Para saber múltiplo, basta contar quantos casas decimais devemos “andar" até a vírgula;
3°: reduzir a equação encontrada da equação inicial.
4°: por último, isolar a incógnita.
Existe outro método para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples, basta colocar o período no numerador da fração e, para cada algarismo que ele tiver, adicionar o 9.
No caso das dízimas periódicas compostas, além de colocar o 9 para cada algarismo do período, deve-se adicionar o zero ao denominador, também para cada algarismo do anteperíodo. No numerador deve ser realizado o cálculo: (parte inteira com anteperíodo e período) - (parte inteira com anteperíodo).
Agora que você já sabe como calcular a fração geratriz de uma dízima periódica, confira na prática três exemplos:
Exemplo 1 - Dada a dízima periódica 0,171353535..., qual a sua fração geratriz?
Esse é um exemplo de dízima periódica composta. O número 17135 é formado pela união do anteperíodo 171 com o período 35. Quando realizamos a subtração deste número, obtemos 16964, que corresponde ao numerador da fração geratriz.
Já o denominador é formado por dois dígitos 9, que equivalem aos dois dígitos do período, assim como é adicionado às dízimas periódicas simples. Logo após existem três zeros, que são os 3 dígitos do anteperíodo.
Exemplo 2 - Dada a dízima periódica 0,8888..., qual a sua fração geratriz?
Resposta: olá, a fração geratriz é 523/225, na forma irredutível, ou seja, 2092÷4= 523 e 900÷4 =225.
Explicação passo a passo: 2,324444.......= 2+ 324
324-32/900 -> esse 32 é meu anteperíodo
2+ 292/900= nessa parte, eu vou multiplicar os denominadores ( 900×1) e depois pegar esse resultado e multiplicar pelo numerador (que é o 2), ficando como 1800+292/900 ( ficando com mesmos denominadores) que resulta em 2092/900. Agora, é só simplificar (está lá na resposta).
Se estiver errado, desculpa aí! Esse é o jeito que faço!