Question

qual a fraçao geratriz de 1,9343434 e de 0,6444...

Answer 1

Resposta:

Fração geratriz de:

a) 1,9343434... = 383

                            198

b) 0,6444... =   29

                        45

Explicação passo a passo:

Devido ao limite de 5000 caracteres, não poderei explicar detalhadamente...

a) Para transformar um decimal infinto em sua fração geratriz, deve-se, primeiro, transformar em uma equação:

x = 1,9343434...

Logo, devemos multiplicar por 10 ou um múltiplo dele, para assim mover a vírgula para a direita.

10x = 19,343434...

Agora, há dois métodos para resolver, o mais complicado é:

I.

Deve-se verificar se os dígitos após a vírgula são iguais:

10x = 19,343434...

x = 1,9343434...

Há uma diferença...há um nove na frente...

Logo, vamos multiplicar pelos próximos múltiplos de 10, como 100 e, se não funcionar, 1000, e assim por diante

100x = 193,43434...

1000x = 1934,343434...

Porém, como nenhum terá os dígitos após a vírgula exatamente iguais ao valor inicial (o primeiro decimal, o "x"), então vamos comparar com os outros valores decimais ("10x", "100x", "1000x")

Então...

10x =19,343434...

Logo, vamos analisar qual é o primeiro número que tem essa mesma terminação após a vírgula:

(OBS: Não necessariamente precisa ser o primeiro número com a mesma terminação, apenas é melhor escolher o primeiro para facilitar a simplificação da fração)

1000x = 1934,343434...

10x = 19,343434...

Ok, agora que encontramos, devemos subtrair o maior valor pelo menor:

1000x = 1934,343434...

- 10x = 19,343434...

990x = 1915, 00000...

990x = 1915

É por isso que precisávamos de duas variantes com exatamente a mesma terminação, para que a terminação "zerasse" (ficasse terminada em 0 após a vírgula), tornando-se um número exato.

Assim, é só resolver a equação:

990x = 1915

990.x = 1915

990 990

x = 1915

990

Encontramos uma fração geratriz, porém devemos verificar se ela é redutível (ou seja, se há algum número que pode dividir os dois lados da fração, numerador e denominador).

Sim, essa fração é redutível porque é divisível por 5:

x = 1915 ÷ 5 = 383

990 ÷ 5 = 198

Como não encontro divisibilidade entre os dois números, considero essa a fração geratriz.

Agora, o método que eu considero mais fácil:

II. Deve-se verificar se o período (número ou conjunto de números que se repetem) ocorre imediatamente após a vírgula.

Se não ocorrer isso, deve-se multiplicar por 10, 100, 1000 ou qualquer número que mova a vírgula para a direita até que o período ocorra imediatamente após a vírgula.

x = 1,9343434...

10x = 19,343434...

Por 10 funcionou, logo devemos pensar que:

19, 343434... = 19 + 0,343434...

E para encontrar uma fração geratriz, devemos repetir o período e dividir por "noves".

Como assim, "noves"?

Dependendo da quantidade de dígitos do período [ número(s) que se repete(m) ], será a quantidade de dígitos "9".

Ou seja, a quantidade de números que repetem será a quantidade de dígitos 9

Exemplos:

0,444...

Período = 4

O número "4" possui apenas um dígito, logo haverá um nove

Assim, 4

9

0,646464...

Período = 64

O número "64" possui dois dígitos, logo, haverão dois noves:

Assim, 64

99

0,123123123...

Período = 123

O número "123" possui três dígitos, logo haverão três noves:

Assim, 123

999

Esse é o método mais fácil caso o número inicie com 0 e o período esteja imediatamente após a vírgula, pois mostra imediatamente o resultado, tudo o que precisamos fazer é reduzir, se necessário.

Dessa forma, voltaremos à questão:

10x =19, 343434...

-->

10x = 19 + 0,343434...

Logo, primeiro veremos o decimal com o período:

0,343434...

Período = 34

Há dois dígitos, logo:

34

99

Porém devemos lembrar que:

10x = 19 + 0,343434...

Logo,

10x = 19 + 34

               99

Lembre-se, há um número, "19", somando a fração.

Então devemos tranformá-la em uma equivalente que possa somar à fração

, então sabendo que:

19 = 19

       1

Logo, vamos transformar em uma fração com denominador (número de baixo) equivalente, pois somente assim, poderemos somar os numeradores (de cima) e manter os denominadores.

Vamos tentar deixar as duas frações com denominador equivalente a 99, logo:

19 . 99 = 1881

1   . 99 = 99

Assim, poderemos somar as frações:

10x= 1881 + 34

          99   99

10x = 1915

         99

Encontramos uma fração geratriz, porém lembre-se, multiplicamos por 10 antes...

Logo, é só dividir os dois lados por 10. Parece simples, não é?

Bom...

10x = 1915

10      99

         10

Há uma divisão de fração... primeiro, devemos considerar que estamos dividindo por 10 inteiros ($\frac{10}{1}$).

x = 1915

     99

      10

      1

Certo, agora para resolver, é só inverter os lados de uma das duas:

10 --> 1

1 10

E assim, multiplicar as duas frações:

x = 1915 . 1 = 1915

      99   10  990

Semelhantemente ao outro método, encontramos uma fração geratriz (a mesma da última vez), que é redutível por 5

x = 1915 ÷ 5 = 383

     990 ÷ 5 = 198

x = 383

     198

Como não encontro mais divisibilidade entre os dois números, considero essa a fração geratriz.