Question

Qual a forma trigonométrica do número complexo -2i? Quando o sen ou o cos de um número da negativo como eu faço para saber o quadrante deste numero

Answer 1

$z=-2i=0-2i\\\\Re(z)=0\\Im(z)=-2$

Achando o módulo de z:

$|z|=\sqrt{(Re(z))^{2}+(Im(z))^{2}}=\sqrt{0^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4}=2$

Achando o seno e o cosseno do argumento de z:

$sen~\theta=\dfrac{Im(z)}{|z|}=\dfrac{-2}{2}=-1\\\\\\cos~\theta=\dfrac{Re(z)}{|z|}=\dfrac{0}{2}=0$

O ângulo cujo seno é -1 e o cosseno é 0 no primeiro quadrante é o 270º (facilmente perceptível no ciclo trigonométrico)

Passando 270º para radianos, encontramos 3π/2 rad

Colocando o número na forma trigonométrica:

$z=|z|(cos~\theta+isen~\theta)\\\\\boxed{\boxed{z=2\left(cos~\dfrac{3\pi}{2}+isen\dfrac{3\pi}{2}\right)}}$