Question

Qual a forma geral da equação da reta que passa pelos pontos (-1, -2) e (-1/2, 3) ??

Answer 1

Dados dois pontos $A(x_{_{A}},\,y_{_{A}})$ e $B(x_{_{B}},\,y_{_{B}})\,,$ podemos obter a equação da reta $r$ que passa por $A$ e $B$ a seguir:

$\boxed{\begin{array}{c}r:~\dfrac{y-y_{_{A}}}{x-x_{_{A}}}=\dfrac{y_{_{B}}-y_{_{A}}}{x_{_{B}}-x_{_{A}}} \end{array}}~~~~~~(x_{_{B}}\ne x_{_{A}})$


Observe que o lado direito da equação acima nos fornece exatamente o coeficiente angular $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ da reta $r.$ Podemos reescrever a equação acima como

$\boxed{\begin{array}{c}r:~y-y_{_{A}}=\dfrac{y_{_{B}}-y_{_{A}}}{x_{_{B}}-x_{_{A}}}\cdot (x-x_{_{A}}) \end{array}}$

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Para os pontos $A(-1,\,-2)$ e $B\left(-\frac{1}{2},\,3 \right )\,,$ a equação da reta é

$r:~y-(-2)=\dfrac{3-(-2)}{-\frac{1}{2}-(-1)}\cdot \big(x-(-1)\big)\\\\\\ r:~y+2=\dfrac{3+2}{-\frac{1}{2}+1}\cdot (x+1)\\\\\\ r:~y+2=\dfrac{5}{-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}\cdot (x+1)\\\\\\ r:~y+2=\dfrac{5}{\left(\frac{-1+2}{2} \right )}\cdot (x+1)$

$r:~y+2=\dfrac{5}{\left(\frac{1}{2} \right )}\cdot (x+1)\\\\\\ r:~y+2=5\cdot \dfrac{2}{1}\cdot (x+1)\\\\\\ r:~y+2=10\cdot (x+1)\\\\\\ r:~y+2=10x+10$


Para obter a forma geral, passamos todos os termos para o mesmo lado da igualdade, e fica tudo igual a zero:

$r:~0=10x+10-y-2\\\\ r:~0=10x-y+10-2\\\\ r:~0=10x-y+8\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}r:~10x-y+8=0 \end{array}}$


(esta é a forma geral da equação da reta)